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高中数学北师大版必修5第1章2《等差数列》(第4课时 等差数列的综合应用)ppt同步课件_图文


第一章 数 列

第一章
§2 第4课时 等差数列

等差数列的综合应用

1

课前自主预习

2

课堂典例讲练

4

本节思维导图

3

易混易错点睛

5

课 时 作 业

课前自主预习

在我国古代,9 是数字之极,代表 尊贵之意, 所以中国古代皇家建筑中包 含许多与 9 相关的设计. 例如, 北京天 坛圆丘的地面由扇环形的石板铺成 (如 图所示),最高一层的中心是一块天心 石,围绕它的第一圈有 9 块石板,从第二圈开始,每一圈比前 一圈多 9 块石板, 共有 9 圈. 请问: (1)第 9 圈共有多少块石板? (2)前 9 圈一共有多少块石板?

1.等差数列前 n 项和的二次函数形式 n?n-1? 等差数列的前 n 项和 Sn=na1+ 2 d 可以改写成:Sn= d 2 d 二次 函数,所以 n + ( a 1- )n.当 d≠0 时,Sn 是关于 n 的________ 2 2

二次 函数的有关性质来处理等差数列前 n 项和 Sn 的 可借助________
有关问题.

2.等差数列前 n 项和的最值

大 值;a1<0, 在等差数列{an}中,a1>0,d<0.则 Sn 存在最____
小 值. d>0,则 Sn 存在最____
3.等差数列奇数项与偶数项的性质 (1)若项数为 2n,则
an S奇 nd an+1 S 偶-S 奇=________, =________. S偶

(2)若项数为 2n-1,则
n S 奇 an n-1 S 奇-S 偶=________, =________. S偶

4.an 与 Sn 的关系 若数列{an}的前 n 项和记为 Sn,即 Sn=a1+a2+…+an,则
? ?S1?n=1? an=?S -S n -1 ? ? n

?n≥2?

1.在等差数列{an}中,a3+a4+a5+a6+a7=450,则a2+a8 =( ) A.45 C.180 B.75 D.300

[答案] C
[解析] 由a3+a7=a4+a6=2a5,得 a3+a7+a4+a6+a5=5a5=450,∴a5=90.

∴a2+a8=2a5=180.

2.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S3=9,S6=36,则
a7+a8+a9等于( A.63 C.36 [答案] B ) B.45 D.27

[解析]

解法一:∵{an}是等差数列,∴S3、S6-S3、S9-

S6为等差数列. ∴2(S6-S3)=S3+(S9-S6),

∴S9-S6=2S6-3S3=45.

Sn 解法二:∵Sn 为等差数列{an}的前 n 项和,令 bn= n ,则 {bn}成等差数列. S3 S6 由题设 b3= 3 =3,b6= 6 =6, ∴b9=2b6-b3=9. ∴a7+a8+a9=S9-S6=9b9-36=45.

3.已知等差数列{an}中,前 15 项之和为 S15=90,则 a8 等于( A.6 C.12
[答案] A

) 15 B. 4 45 D. 2

[ 解析] ∴a8=6.

∵S15=a1+a2+…a15=15a8=90,

4.在等差数列{an}中,a5+a10=58,a4+a9=50,则它的 前10项和为__________. [答案] 210
[ 解析] 设等差数列{an}的公差为 d, 解法一:a5+a10=2a1+13d=58, a4+a9=2a1+11d=50,∴a1=3,d=4, 10×9 ∴S10=10×3+ 2 ×4=210. 解法二:a5+a10=(a1+a10)+4d=58, a4+a9=(a1+a10)+2d=50,∴a1+a10=42, 10?a1+a10? ∴S10= =210. 2

5.设Sn为等差数列{an}的前n项和,若a4=1,S5=10,当
Sn取最大值时,n的值为________. [答案] 4或5
[ 解析] 设等差数列{an}的公差为 d,

由 a4=a1+3d=1,S5=5a1+10d=10,得 a1=4,d=-1, n?n-1? -n2+9n 1 Sn=4n- 2 = =-2. 2
? 9?2 81 ?n- ? + , 2? 8 ?

又∵n∈N+,∴当 n=4 或 n=5 时,Sn 最大.

课堂典例讲练

已知Sn求an
3 2 205 已知数列{an}的前 n 项和 Sn=-2n + 2 n,求 数列{an}的通项公式 an.

[ 分析]

利用 an 与 Sn 的关系 ,求解.

? ?S1?n=1? an=? ? ?Sn-Sn-1?n≥2?

[ 解析]

当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1

? 3 2 205 ? ? 3 ? 205 2 =?-2n + 2 n?-?-2?n-1? + 2 ?n-1?? ? ? ? ?

=-3n+104. 3 205 当 n=1 时,a1=S1=-2+ 2 =101 满足上式, ∴an=-3n+104(n∈N+).

[ 方法总结]

如果已知数列{an}的前 n 项和 Sn 的公式,那

么这个数列也随之确定:a1=S1,a2=S2-S1,a3=S3-S2,…, 其通项公式如下:
? ?S1 ?n=1? a n =? ? ?Sn-Sn-1 ?n≥2?

,利用这一公式应当注意:

检验 n=1 时,a1=S1 是否符合 an=Sn-Sn-1(n≥2)的 形式.如果符合,则可将 a1=S1 合并到 an=Sn-Sn-1(n≥2) 中;如果不符合,则必须采用分段函数的形式来表示,不能直 接用 an=Sn-Sn-1.

Sn是数列{an}的前n项和,根据条件求an. (1)Sn=2n2+3n+2; (2)Sn=3n-1.

[ 解析]

(1)当 n=1 时,a1=S1=7,

当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=(2n2+3n+2)-[2(n-1)2+3(n -1)+2] =4n+1,又 a1=7 不适合上式,
? ?7 ∴an=? ? ?4n+1

?n=1? . ?n≥2?

(2)当 n=1 时,a1=S1=2, 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=(3n-1)-(3n-1-1) =2×3n-1,显然 a1 适合上式, ∴an=2×3n-1 (n∈N+).

等差数列前n项和的性质
含(2n+1)项的等差数列,其奇数项的和与偶数 项的和之比为( 2n+1 A. n ) n+1 B. n n-1 C. n n+1 D. 2n

[分析]

要清楚等差数列中奇数项与偶数项也分别构成等

差数列,可求和,然后作比,进行解答. 由于本题的比值是要

对任意的等差数列都成立,因此也可采用取特殊数列进行验证
与排除的方法.

[ 解析]

解法 1:设原数列为 a1,a2,a3,…,a2n+1,公差

为 d,则 a1,a3,a5,…,a2n+1 和 a2,a4,a6,…,a2n 分别也 为等差数列,公差都为 2d. 故 S 奇=a1+a3+a5+…+a2n+1 ?n+1?[?n+1?-1] =(n+1)a1+ · 2d 2 =(n+1)(a1+nd).

S 偶=a2+a4+a6+…+a2n n?n-1? =na2+ 2 · 2d=n(a1+d)+n(n-1)d=n(a1+nd). S奇 ?n+1??a1+nd? n+1 故 = = n . S偶 n?a1+nd? ∴应选 B.

解法 2:∵S 奇=a1+a3+a5+…+a2n+1 ?n+1??a1+a2n+1? = , 2 n?a2+a2n? S 偶=a2+a4+a6+…+a2n= , 2 S奇 n+1 又∵a1+a2n+1=a2+a2n,∴ = n . S偶 ∴应选 B.

方法 3:取满足条件的等差数列:1,2,3,公差 d=1,且 S


=1+3=4,S 偶=2. S奇 4 1+1 = =2= 1 . S偶 2 ∴应选 B.

[ 答案]

B

[ 方法总结] 质.

关于等差数列奇数项的和与偶数项的和的性

(1)若项数为 2n,则 S 偶-S 奇=a2+a4+…+a2n-a1-a3-…-a2n-1 =(a2-a1)+(a4-a3)+…+(a2n-a2n-1) =d+d+…+d=nd. n S奇 2?a1+a2n-1? 2an an = = = =中间相邻项之比. S偶 n 2an+1 an+1 2?a2+a2n?

(2)若项数为 2n-1,则由等差数列的性质: a1+a2n-1=a2+a2n-2=…=2an, ∴S 偶=a2+a4+…+a2n-2 n-1 n-1 = 2 (a2+a2n-2)= 2 ×2an=(n-1)an, n n S 奇=a1+a3+…+a2n-1=2(a1+a2n-1)=2×2an=nan. S奇 nan ∴S 奇-S 偶=nan-(n-1)an=an, 这里 an=a 中, = S偶 ?n-1?an n = =奇数项与偶数项的项数之比. n-1 熟悉并掌握性质,对我们解题大有裨益.

(1)在项数为2n+1的等差数列中,所有奇数项的和为165, 所以偶数项的和为150,则n等于( A.9 B.10 )

C.11
S2m=________. [答案] (1)B (2)155

D.12

(2) 设 Sn 为等差数列的前 n 项和,若 Sm = 40 , S3m = 345 ,则

[ 解析]

?n+1?· ?a1+a2n+1? S奇 n+1 165 2 (1)由 = = n =150. S偶 n· ?a2+a2n? 2

解得:n=10. (2)∵Sm,S2m-Sm,S3m-S2m 成等差数列, ∴2(S2m-Sm)=Sm+S3m-S2m, ∴2(S2m-40)=40+345-S2m. ∴S2m=155.

等差数列前n项和的最值问题 在等差数列{an}中,a1=25,S17=S9.试求前n项 和Sn的最大值. [分析] 可先由已知条件求出公差,进而得前n项和公式,

从而二次函数求最值的方法求解;也可以先求得通项公式,再
利用等差数列的性质求解.

[ 解析]

解法一:由 S17=S9,得

17×?17-1? 9×?9-1? 25×17+ d=25×9+ d, 2 2 解得 d=-2, n?n-1? 所以 Sn=25n+ 2 ×(-2)=-(n-13)2+169. 由二次函数性质,得当 n=13 时,Sn 取得最大值 169.

解法二:先求出 d=-2(同解法一). ∵a1=25>0,d=-2, 1 ? ? ?n≤132 ?an=25-2?n-1?≥0 ∴? ,得? ? ?an+1=25-2n≤0 ?n≥121 2 ? 1 1 即 122≤n≤132. ∴当 n=13 时,Sn 取得最大值 13?13-1? S13=13×25+ ×(-2)=169. 2

.

解法三:先求出 d=-2(同解法一). 由 S17=S9,得 a10+a11+…+a17=0. 而 a10+a17=a11+a16=a12+a15=a13+a14, 故 a13+a14=0. ∵d=-2<0,a1>0,∴a13>0,a14<0. 故 n=13 时,Sn 取得最大值 169.

解法四:先求出 d=-2(同解法一). 由 d=-2,得 Sn 的图像如图所示的曲 线上均匀分布的点,由 S17=S9,知图像的 9+17 对称轴 n= 2 =13. 所以,当 n=13 时,Sn 取得最大值 169.

[ 方法总结] 思路:

求等差数列的前 n 项和 Sn 的最值通常有两种

n?n-1? d 2 d (1)将 Sn=na1+ 2 d=2n +(a1-2)n 配方. 转化为求二 次函数的最值问题,借助函数单调性来解决. (2)邻项变号法:
? ?an≥0, 当 a1>0, d<0 时, 满足? ? ?an+1≤0 ? ?an≤0, 时,满足? ? ?an+1≥0

的项数 n, 使 Sn 取最大值. 当

a1<0,d>0

的项数 n,使 Sn 取最小值.

已知等差数列 {an}的前 n 项和为Sn,7a5 + 5a9= 0 ,且 a9>a5 ,

则Sn取得最小值时n的值为(
A.5 C.7 [答案] B

)
B.6 D.8

[ 解析]

a1 17 由 7a5+5a9=0,得 d =- 3 .

又 a9>a5,所以 d>0,a1<0. 1 a1 1 d 2 d 因为函数 y=2x +(a1-2)x 的图像的对称轴为 x=2- d =2 17 37 + 3 = 6 ,取最接近的整数 6,故 Sn 取得最小值时 n 的值为 6.

求数列{|an|}的前n项和 等差数列 {an}中,a1=- 60, a17 =- 12 ,求数

列{|an|}的前n项和.
[ 分析] 由已知条件可求出 an ,然后再判断哪些项为正, 哪些项为负,最后求出前n项和.

[ 解析]

等差数列{an}的公差为:

a17-a1 -12-?-60? d= = =3, 16 17-1 所以 an=a1+(n-1)d=-60+3(n-1)=3n-63. 又因为 an<0 时,3n-63<0,n<21, 所以等差数列{an}的前 20 项是负数,第 20 项以后的项是 非负数. 设 Sn 和 S′n 分别表示数列{an}和{|an|}的前 n 项和.

当 0<n≤20 时, 3n?n-1? 3 2 123 S′n=-Sn=-[-60n+ ]=-2n + 2 n; 2 当 n>20 时, S′n=-S20+(Sn-S20)=Sn-2S20 3n?n-1? 20×19 =-60n+ -2×(-60×20+ 2 ×3) 2 3 2 123 =2n - n n+1260.

所以数列{|an|}的前 n 项和为: ? 3 2 123 ?-2n + 2 n,n≤20,且n∈N+ S′n=? ?3n2-123n+1260,n>20,且n∈N+ 2 ?2
[ 方法总结 ] 数列 {|an|} 的前 n 项和仅受 {an} 中负数项的影 响,因此要首先找出这些负数项.而由等差数列的单调性知,

它们要么在数列的前半部分,要么在数列的后半部分.一般
地,先令an=0找到正、负数项的分界处,再由公差确定项的正 负.数列{|an|}并不一定是等差数列,求和时需要分类讨论.

已知数列{an}的前n项和Sn=12n-n2,求数列{|an|}的前n项 和Tn.
[ 解析] 当 n=1 时,a1=S1=12-12=11. 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=(12n-n2)-[12(n-1)-(n-1)2] =13-2n.又 n=1 时适合上式, ∴{an}的通项公式为 an=13-2n. 13 由 an=13-2n≥0 得 n≤ 2 , 即当 1≤n≤6(n∈N+)时,an>0,当 n≥7 时,an<0.

①当 1≤n≤6(n∈N+)时, Tn=|a1|+|a2|+…+|an|=a1+a2+…+an=12n-n2. ②当 n≥7(n∈N+)时, Tn=|a1|+|a2|+…|an|=(a1+a2+…+a6)-(a7+a8+…+an) = S6 - (Sn - S6) = 2S6 - Sn = 2(12×6 - 62) -
? ? n?n-1? ? ? 2 = n -12n+72. 11 n + × ? - 2 ? ? ? 2 ? ?
2 ? ?12n-n ?1≤n≤6,n∈N+? ∴Tn=? 2 ? ?n -12n+72?n≥7,n∈N+?

.

等差数列的实际应用

从 5 月 1 日开始,有一新款服装投入某商场销
售,5月1日该款服装销售出10件,第二天销售出25件,第三天 销售出40 件,以后,每天售出的件数分别递增 15 件,直到 5 月

13日销售量达到最大,然后,每天销售的件数分别递减10件.
(1) 记该款服装五月份日销售量与销售天数 n 的关系为 an , 求an; (2)求五月份的总销售量;

(3)按规律,当该商场销售此服装超过1300件时,社会上就
流行,而日销售量连续下降,且日销售量低于 100 件时,则流 行消失,问:该款服装在社会上流行是否超过 10 天?说明理 由. [分析] 由题意可知:从5月1日到5月13日,服装日销售量 成递增的等差数列;从5月14日到5月31日,服装日销售量成递 减的等差数列.解答本题可先确定an与n的关系,然后用等差数 列的前n项和公式解决问题.

[ 解析]

(1)依题意,数列 a1,a2,…,a13 是首项为 10,公

差为 15 的等差数列. ∴an=15n-5(1≤n≤13), a14,a15,a16,…,a31 是首项为 a14=a13-10=180,公差 为-10 的等差数列. ∴an=180+(n-14)(-10)=-10n+320(14≤n≤31),
? ?15n-5?1≤n≤13,n∈N+? ∴an=? ? ?-10n+320?14≤n≤31,n∈N+?

.

(2)五月份的总销售量为 13?10+190? 17×16×?-10? +17×180+ =3000(件). 2 2 (3)5 月 1 日至 5 月 13 日销售总数为 12?a1+a13? 12?10+190? = =1200<1300. 2 2 ∴5 月 13 日前还没有流行,由-10n+320<100 得 n>22, ∴第 22 天流行结束, 故该服装在社会流行没有超过 10 天.

[方法总结]

数列应用题的解法一般是根据题设条件,建

立目标函数关系(即等差数列模型 ),然后确定公差、首项、项 数是什么,分清an与Sn,然后选用适当的方法求解,最后回归 实际.

某单位用分期付款的方式为职工购买40套住房,共需1 150 万元,购买当天先付 150 万元,以后每月这一天都交付 50 万 元,并加付欠款利息,月利率为1%,若交付150万元后的第一

个月开始算分期付款的第一个月,问分期付款的第10个月应付
多少钱?全部付清后,买这40套住房实际花了多少钱?

[ 解析]

因购房时付 150 万元,则欠款 1 000 万元,依题意

分 20 次付款,则每次付款的数额顺次构成数列{an}. 则 a1=50+1 000×1%=60, a2=50+(1 000-50)×1%=59.5, a3=50+(1 000-50×2)×1%=59, a4=50+(1 000-50×3)×1%=58.5, ∴an=50+[1 000-50(n-1)] ×1% 1 =60-2(n-1) (1≤n≤20,n∈N).

1 ∴{an}是以 60 为首项,-2为公差的等差数列, 1 1 ∴a10=60-9×2=55.5,a20=60-19×2=50.5. 1 ∴S20=2×(a1+a20)×20 =10×(60+50.5)=1 105. ∴实际共付 1 105+150=1 255 万元.

易混易错点睛

已知数列{an}的前 n 项和 Sn 满足关系式 lg(Sn+ 1)=n+1(n=1,2,…),试求数列{an}的通项公式.
[ 误解] 由 lg(Sn+1)=n+1 得 Sn=10n 1-1.
+ +

∴an=Sn-Sn-1=(10n 1-1)-(10n-1)=9· 10n. ∴数列{an}的通项公式为 an=9· 10n.

[ 辨析]

上面解法在运用公式 an= 时漏掉了 n=1 时的情况, 实际上当 n=1

? ?S1,n=1 ? ? ?Sn-Sn-1,n≥2

时,a1=S1=102-1=99,不适合通项公式 an=9· 10n,故应分 情况讨论. [ 正解] 由 lg(Sn+1)=n+1 得 Sn=10n+1-1,

当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=(10n+1-1)-(10n-1)=9· 10n, 当 n=1 时,a1=S1=102-1 =99 不满足上式,
? ?99?n=1? ∴an=? n ? 9· 10 ?n≥2? ?

.

本节思维导图

? ?等差数列前n项和与二次函数的关系 等差数列?等差数列的前n项和最值 ? 前n项和 ?等差数列奇数项和偶数项和的性质 ? ?an与Sn的关系


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