伤城文章网 > 数学 > 【金版学案】2015届高考数学总复习 基础知识名师讲义 第六章 第五节合情推理与演绎推理 理

【金版学案】2015届高考数学总复习 基础知识名师讲义 第六章 第五节合情推理与演绎推理 理


第五节

含绝对值的不等式

1.理解绝对值的几何意义, 并能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不 等式: (1)|a+b|≤|a|+|b|; (2)|a-b|≤|a-c|+|c-b|. 2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式: (1)|ax+b|≤c; (2)|ax+b|≥c; (3)|x-a|+|x-b|≥c. 3.会用不等式|a+b|≤|a|+|b|和|a-b|≤|a-c|+|c-b|证明一些简单 问题.

知识梳理 一、绝对值的基本性质 ?a,a≥0, ? 设 a∈R,则|a|=? ? ?-a,a<0. (1)|a|≥0(当且仅当a=0时,取等号); (2)|a|≥±a; (3 )-|a|≤a≤|a|; (4)|-a|=|a|,|a-b|=|b-a|; 2 2 (5)|a| =a . 二、绝对值的运算性质 1.|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|(注意等号成立的条件). 2.|a|-|b|≤|a-b|≤|a|+|b|(注意等号成立的条件). 以上二式中, 左边分别在 ab≤0(≥0)时取得等号, 右边分别在 ab≥0(≤0)时取得等号. 3.|a·b|=|a|·|b|. ?a? |a| 4.? ?= . ?b? |b| 三、解绝对值不等式的思路 2 2 2 2 1.若 a>0,x∈R,则|x|<a?x <a ?-a<x<a;|x|>a?x >a ?x<-a 或 x>a. ?-a<x<a,a>0, ? 若 a∈R , 则 需 对 a 进 行 分 类 讨 论 : |x|<a ? ? |x|>a ? ??,a≤0; ?

x>a或x<-a,a>0, ? ? ?x≠0,a=0, ? ?x∈R,a<0.
2.|f(x)|≤g(x)?-g(x)≤f(x)≤g(x),|f(x)|≥g(x)?f(x)≥g(x)或 f(x)≤ -g(x).

1

3.|f(x)|≥|g(x)|?f (x)≥g (x)?[(f(x)+g(x)]·[ f(x)-g(x)]≥0. 4. 含有多个绝对值符号的不等式, 例如: 形如|x-a|+|x-b|≥c, |x-a|+|x+a|≤c 或|x-a|-|x-b|≥c 的不等式的求解通常采用“零点分段讨论法”求解, 也可利用绝对值 的几何意义去求解. 5.含有参数的不等式的求解,通常要对参数分类讨论. 四、解答含绝对值问题的常用策略 (1)定义策略;(2)平方策略;(3)定理策略;(4)等价转化策略;(5)分段讨论策略;(6) 数形结合策略. 五、 证明绝对值不等式的方法 证明绝对值不等式的基本思想和基本方法有转化思想和比较法,分 析法,换元法,综 合法,放缩法,反证法等.
2 2

基础自测 2 1.若命题 p:|x+1|<2,命题 q:x <2-x,则¬p 是¬q 的 A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

(

)

解析:解|x+1|<2 得-3<x<1,∴p:-3 <x<1,¬p:x≤-3 或 x≥1;解 x <2-x 得- 2<x<1,∴q:-2<x<1 ,¬q:x≤-2 或 x≥1.显然¬p? ¬q,而¬q 推不出¬p. ∴¬p 是¬q 的充分 不必要条件.故选 B. 答案:B 2.已知实数集 R,集合 M={x ||x+2|<2},N=?x?
? ? ? ?

2

? 3 <1 ?x+1

? ? ?,则 M∩(?RN)=( ? ?

)

A.{x|-4<x<0 B.{x|-1<x≤0} C.{x|-1≤x<0} D.{x|x<0 或 x>2} 解析:由|x+2|<2? -2<x+2<2? -4<x<0, ∴M={x|-4<x<0}. 3 2-x x-2 由 <1? <0? >0? x<-1 或 x>2, x+1 x+1 x+1 ∴N={x|x<-1或x>2},∴?RN={x|-1≤x≤2}, ∴M∩(?RN)={x|-1≤x<0}.故选 C. 答案:C 3.不等式|x- 2|>x-2 的解集是________. 解析:原不等式同解于 x-2<0,即 x<2. 答案:{x|x<2} 4 .若关于 x 的不等式 |a|≥|x + 1| + |x - 2| 存在实数解,则实数 a 的取值范围是 _ _______. 解析:令 y=|x+1|+|x- 2|,由题意知应|a|≥ymin,而 y=|x+1|+|x-2|≥|x+1 -x+2|=3,所以 a≥3 或 a≤-3.
2

答案:( -∞,-3]∪[3,+∞)

1.(2013·江西卷)在实数范围内,不等式||x-2|-1|≤1 的解集为________. 解析:由||x-2|-1|≤1 得-1≤|x-2|-1≤1,
? ?|x-2|≥0, 解? ?|x-2|≤2, ? 答案:[0,4]

得 0≤x≤4.∴不等式的解集为[0,4].

2.(2013·重庆卷)若关于实数 x 的不等式|x-5|+|x+3|<a 无解,则实数 a 的取值范 围是________. 解析: 因为|x-5|+|x+3|表示数轴上的动点 x 到数轴上的点-3,5 的距离之和, 而(|x -5|+|x+3|)min=8,所以当 a≤8 时,|x-5|+|x+3|<a 无解,故实数 a 的取值范围为(- ∞,8]. 答案:(-∞,8]

1. (2013·潮州二模)已知不等式|x-2|>1 的解集与不等式 x +ax+b>0 的解集相等, 则 a+b 的值为________. 解析:由不等式|x-2|>1,可得 x-2>1 或 x-2<-1,解得 x>3 或 x<1,故不等式 2 |x-2|>1 的解集为{x|x>3 或 x<1}, 即不等式 x +ax+b>0 的解集为{x|x>3 或 x<1}. 所 以 3+1=-a,3×1=b,所以 a+b=- 4+3=-1. 答案:-1 2.若关于 x 的不等式|x|+|x-1|≤a 有解,则实数 a 的取值范围是________. 解析: |x|+|x-1|≥|x-(x-1)|=1, 即|x|+|x-1|的最小值为 1, 若原不等式有解, 则必须 a≥1.∴实数 a 的取值范围是[1,+∞). 答案:[1,+∞)

2

3


搜索更多“【金版学案】2015届高考数学总复习 基础知识名师讲义 第六章 第五节合情推理与演绎推理 理”

网站地图

All rights reserved Powered by 伤城文章网 5xts.com

copyright ©right 2010-2021。
伤城文章网内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com