数学思想方法梳理（3）——化归与转化思想
解决数学问题时，常遇到一些问题直接求解较为困难，通过观察、分析、类比、联想等思维过程，选 择运用恰当的数学方法进行变换，将原问题转化为一个新问题（相对来说，对自己较熟悉的问题），通过 新问题的求解，达到解决原问题的目的.化归与转化思想的实质是揭示联系，实现转化,是具有较高思维能 力要求的压轴题中重点考查的数学思想方法。
1.求函数 y ? ax ? bx ? c 值域，可以设 t ? bx ? c ，则原函数转化为关于 t 的二次函数
；
2.若 y ? lgu 的定义域为 R，其中 u ? f (x) ，则问题等价于不等式 值域为 R，则问题等价于函数 u ? f (x) 在 (0,??) 能
恒成立；若 y ? lg f (x) 的 ；
3. 对 于 ?x ?[ a, b]， 总 有 f ( x) ? g( x)等 价 于 函数 h(x) ?
在 [a,b] 上 的 最 大 值 小 于 零 ； 对 于
?x1 ?[a,b]， ?x2 ?[a,b] 总有 f (x1) ? g(x2 ) 等价于[ f (x)]max ,[g(x)]min 之间满足
；
4.对于 x1, x2 ?[a,b] ， f (x1) ? g(x1) ? f (x2 ) ? g(x2 ) 等价于函数 y ? f (x) ? g(x) 在[a,b] 上
；实数 m, n
分别满足 am3 ? bm2 ? cm ? d ? 0 ，an3 ? bn2 ? cn ? d ? 0 ，可构造 f (x) ?
且 f (m) ? f (n) ? 0 ．
5. 当遇到四个变量 x1, y1, x2 , y2 ，满足 ax1 ? by1 ? c ? 0, ax2 ? by2 ? c ? 0 时，则 (x1, y1),(x2 , y2 ) 可以可视为直
线
上的两个的不同点的坐标，该直线也就是过两定点 (x1, y1),(x2 , y2 ) 的直线； 当遇
到两个变量 x, y ，满足 x ? y ? m, x2 ? y2 ? n(n ? 0) ，则可理解为
有公共点；
6. f ?(x)g(x) ? f (x)g?(x) 是
的导数； f ?(x)g(x) ? f (x)g?(x) ? 0 （ g(x) ? 0 ）说明函数
在定义域的某个区间上单调增； xg(x) ? g?(x) ? 0 说明函数
在定义域内单调减；
7.已知实数 k ?[m, n] ， 若 kx2 ? kx ?1 ? 0 恒成立，构造关于 k 的一次函数 f (k) ?
，问题等价
于不等式
在 k ?[m, n] 上恒成立；已知 ax2 ? bx ?1 ? 0 ，其中 x ?[m, n] ，欲求
a2 ? b2 的最小值，可以视方程为直线 l :
， a2 ? b2 的最小值就等价于坐标原
点到直线 l 的的距离 d ?
的平方的最小值；
8.如图（1），A、B 在直线 L 的异侧，在直线 L 上任取一点 M，MA ? MB ? AB ，当且仅当点 M
与 M ? 重合时有 M ?A ? M ?B ? AB ，所以 MA+MB 的最小值是
．简单地说，就是“异侧和最小”；
9.如图（2），A，B 在直线 L 的同侧，在直线 L 上任取一点 M， MA? MB ? AB，当且仅
当点 M 在 AB 的延长线与 L 的交点处时有 M ?A ? M ?B ? AB ，此时 MA-MB 的最大值是
．简
单地说，就是“同侧差最大”
【例1】已知曲线 f (x) ? a ? 2 , g(x) ? ax ? 2b ?1. x
（1）若 a ? 1, b ?1为常数，点 (x, y) 为直线 y ? g(x) 上任一点，求 x2 ? y2 的最小值；
第1页
（2）若 a,b ? R, a ? 0 ，关于 x 的方程 f (x) ? g(x) 在[3,5] 上有解，求 a2 ? b2 的最小值
【解析】（1） x2 ? y2 的最小值，等价于原点到直线 x ? y ? 3 ? 0 的距离 d ? | 2 ?1| ? 3 2 ； 12 ?1 2
（2）方程整理得 ax2 ? (2b ?1)x ? a ? 2 ? 0 ，即 x2a ? 2xb ? 2 ? a ? x ? 0 ，以 aOb 建立平面坐标系，
则原点到直线的距离 a2 ? b2的最小值 也就是
x?2
的最小值 ，
(x2 ?1)2 ? 4x2
设?(x) ?
x?2
，其中 x ?[3,5].?(x) ?
(x2 ?1)2 ? 4x2
x?2 (x2 ?1)2
?
x?2 ? t ? 1 x2 ?1 t2 ? 2t ? 5 t ? 5 ? 2
,t ? x?2 ，
t
设
h(t
)
?
t
?
5 t
?
2
，
t
?[1,
3]
，
h?(t
)
?
t
2? t2
5
，当
h?(t
)
?
0
，
5 ? t ? 3 ，函数 h(t) 单调增；
当 h?(t) ? 0 ，1 ? t ? 5 ，函数 h(t) 单调减。 h(1) ? 8 ， h(5) ? 8 ，所以[h(t)]max ? 8 ，
故 [?(x)]min
?
1 8
，
a2 ? b2 的最小值 1 ；
8
【例 2】已知函数 f (x) ? ln x, g(x) ? 1 x2 2
（1）求证：对于 ?x ?(0, ??) ，总有 f (x) ? g(x) ；
（2）若 x1 ? x2 ? 0 ，试问： m （ m ? Z, m ? 1 ）取何值时，总有 m[g(x1) ? g(x2 )] ? x1 f (x1) ? x2 f (x2 ) 恒成
立.
【解析】（1）令 h(x)
?
f
(x) ? g(x)
? ln x ? 1
x2 ， h?(x)
?
1
?
x
1? x2 ?
? 0, x
? ?1，
2
x
x
当 h?(x) ? 0,0 ? x ?1 ；当 h?(x) ? 0, x ? 1
函数 h(x) 在 (0,1) 上增，在 (1, ??) 上单调减，函数 h(x) 最大值是 h(1) ? ? 1 ? 0
2
所以 h(x) ? f (x) ? g(x) ? 0 ，即 f (x) ? g(x) ；
（2）将不等式 m[g( x1 ) ? g( x2 )]? x1 f ( x1 )? x2 f ( x2 )转化为 mg( x1) ? x1 f ( x1) ? mg( x2 ) ? x2 f ( x2 ) ，
构造辅助函数
h(x)
?
mg(x)
?
xf
(x)
?
m 2
x2
?
x ln
x,
x
?
0 ，由题设
x1
?
x2
?
0
，
所以，当 x ? 0 时，函数 h(x) 单调递增，即有 h' (x) ? mx ? ln x ?1 ? 0 恒成立，得 m ? ln x ? 1 恒成 x
立，即
m
?
(
ln
x? x
1 )max
.
再次引入辅助函数 p(x) ? ln x ?1, (x ? 0) .求导得 x
p' ( x)
?
? ln x2
x
，令
p' ( x)
?
0 ，解得 0
?
x
? 1，
令 p' (x) ? 0 ，解得 x ? 1.从而知，函数 h(x) 的在 (0,1] 上单调递增，在 (1, ??) 上单调递减.
于是 p( x)m a x? h( 1?) ，1故有 m ? 1.因为 m ? Z,m ? 1 ,所以 m ? 1.
第2页