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2019精选教育黑龙江省安达市育才高中数学化归与转化思想.doc


数学思想方法梳理(3)——化归与转化思想
解决数学问题时,常遇到一些问题直接求解较为困难,通过观察、分析、类比、联想等思维过程,选 择运用恰当的数学方法进行变换,将原问题转化为一个新问题(相对来说,对自己较熟悉的问题),通过 新问题的求解,达到解决原问题的目的.化归与转化思想的实质是揭示联系,实现转化,是具有较高思维能 力要求的压轴题中重点考查的数学思想方法。

1.求函数 y ? ax ? bx ? c 值域,可以设 t ? bx ? c ,则原函数转化为关于 t 的二次函数



2.若 y ? lgu 的定义域为 R,其中 u ? f (x) ,则问题等价于不等式 值域为 R,则问题等价于函数 u ? f (x) 在 (0,??) 能

恒成立;若 y ? lg f (x) 的 ;

3. 对 于 ?x ?[ a, b], 总 有 f ( x) ? g( x)等 价 于 函数 h(x) ?

在 [a,b] 上 的 最 大 值 小 于 零 ; 对 于

?x1 ?[a,b], ?x2 ?[a,b] 总有 f (x1) ? g(x2 ) 等价于[ f (x)]max ,[g(x)]min 之间满足



4.对于 x1, x2 ?[a,b] , f (x1) ? g(x1) ? f (x2 ) ? g(x2 ) 等价于函数 y ? f (x) ? g(x) 在[a,b] 上

;实数 m, n

分别满足 am3 ? bm2 ? cm ? d ? 0 ,an3 ? bn2 ? cn ? d ? 0 ,可构造 f (x) ?

且 f (m) ? f (n) ? 0 .

5. 当遇到四个变量 x1, y1, x2 , y2 ,满足 ax1 ? by1 ? c ? 0, ax2 ? by2 ? c ? 0 时,则 (x1, y1),(x2 , y2 ) 可以可视为直

线

上的两个的不同点的坐标,该直线也就是过两定点 (x1, y1),(x2 , y2 ) 的直线; 当遇

到两个变量 x, y ,满足 x ? y ? m, x2 ? y2 ? n(n ? 0) ,则可理解为

有公共点;

6. f ?(x)g(x) ? f (x)g?(x) 是

的导数; f ?(x)g(x) ? f (x)g?(x) ? 0 ( g(x) ? 0 )说明函数

在定义域的某个区间上单调增; xg(x) ? g?(x) ? 0 说明函数

在定义域内单调减;

7.已知实数 k ?[m, n] , 若 kx2 ? kx ?1 ? 0 恒成立,构造关于 k 的一次函数 f (k) ?

,问题等价

于不等式

在 k ?[m, n] 上恒成立;已知 ax2 ? bx ?1 ? 0 ,其中 x ?[m, n] ,欲求

a2 ? b2 的最小值,可以视方程为直线 l :

, a2 ? b2 的最小值就等价于坐标原

点到直线 l 的的距离 d ?

的平方的最小值;

8.如图(1),A、B 在直线 L 的异侧,在直线 L 上任取一点 M,MA ? MB ? AB ,当且仅当点 M

与 M ? 重合时有 M ?A ? M ?B ? AB ,所以 MA+MB 的最小值是

.简单地说,就是“异侧和最小”;

9.如图(2),A,B 在直线 L 的同侧,在直线 L 上任取一点 M, MA? MB ? AB,当且仅

当点 M 在 AB 的延长线与 L 的交点处时有 M ?A ? M ?B ? AB ,此时 MA-MB 的最大值是

.简

单地说,就是“同侧差最大”

【例1】已知曲线 f (x) ? a ? 2 , g(x) ? ax ? 2b ?1. x

(1)若 a ? 1, b ?1为常数,点 (x, y) 为直线 y ? g(x) 上任一点,求 x2 ? y2 的最小值;

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(2)若 a,b ? R, a ? 0 ,关于 x 的方程 f (x) ? g(x) 在[3,5] 上有解,求 a2 ? b2 的最小值

【解析】(1) x2 ? y2 的最小值,等价于原点到直线 x ? y ? 3 ? 0 的距离 d ? | 2 ?1| ? 3 2 ; 12 ?1 2
(2)方程整理得 ax2 ? (2b ?1)x ? a ? 2 ? 0 ,即 x2a ? 2xb ? 2 ? a ? x ? 0 ,以 aOb 建立平面坐标系,

则原点到直线的距离 a2 ? b2的最小值 也就是

x?2

的最小值 ,

(x2 ?1)2 ? 4x2

设?(x) ?

x?2

,其中 x ?[3,5].?(x) ?

(x2 ?1)2 ? 4x2

x?2 (x2 ?1)2

?

x?2 ? t ? 1 x2 ?1 t2 ? 2t ? 5 t ? 5 ? 2

,t ? x?2 ,

t



h(t

)

?

t

?

5 t

?

2



t

?[1,

3]



h?(t

)

?

t

2? t2

5

,当

h?(t

)

?

0



5 ? t ? 3 ,函数 h(t) 单调增;

当 h?(t) ? 0 ,1 ? t ? 5 ,函数 h(t) 单调减。 h(1) ? 8 , h(5) ? 8 ,所以[h(t)]max ? 8 ,

故 [?(x)]min

?

1 8



a2 ? b2 的最小值 1 ;
8

【例 2】已知函数 f (x) ? ln x, g(x) ? 1 x2 2
(1)求证:对于 ?x ?(0, ??) ,总有 f (x) ? g(x) ;

(2)若 x1 ? x2 ? 0 ,试问: m ( m ? Z, m ? 1 )取何值时,总有 m[g(x1) ? g(x2 )] ? x1 f (x1) ? x2 f (x2 ) 恒成
立.

【解析】(1)令 h(x)

?

f

(x) ? g(x)

? ln x ? 1

x2 , h?(x)

?

1

?

x

1? x2 ?

? 0, x

? ?1,

2

x

x

当 h?(x) ? 0,0 ? x ?1 ;当 h?(x) ? 0, x ? 1

函数 h(x) 在 (0,1) 上增,在 (1, ??) 上单调减,函数 h(x) 最大值是 h(1) ? ? 1 ? 0
2
所以 h(x) ? f (x) ? g(x) ? 0 ,即 f (x) ? g(x) ;

(2)将不等式 m[g( x1 ) ? g( x2 )]? x1 f ( x1 )? x2 f ( x2 )转化为 mg( x1) ? x1 f ( x1) ? mg( x2 ) ? x2 f ( x2 ) ,

构造辅助函数

h(x)

?

mg(x)

?

xf

(x)

?

m 2

x2

?

x ln

x,

x

?

0 ,由题设

x1

?

x2

?

0



所以,当 x ? 0 时,函数 h(x) 单调递增,即有 h' (x) ? mx ? ln x ?1 ? 0 恒成立,得 m ? ln x ? 1 恒成 x

立,即

m

?

(

ln

x? x

1 )max

.

再次引入辅助函数 p(x) ? ln x ?1, (x ? 0) .求导得 x

p' ( x)

?

? ln x2

x

,令

p' ( x)

?

0 ,解得 0

?

x

? 1,

令 p' (x) ? 0 ,解得 x ? 1.从而知,函数 h(x) 的在 (0,1] 上单调递增,在 (1, ??) 上单调递减.

于是 p( x)m a x? h( 1?) ,1故有 m ? 1.因为 m ? Z,m ? 1 ,所以 m ? 1.

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