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上海交大学附中2013-2014学年高一下学期期末考试数学试题


上海交通大学附属中学 2013-2014 学年度第二学期 高一数学期末试卷 (满分 100 分, 90 分钟完成。答案一律写在答题纸上) 一、填空题(本大题共 12 题,每题 3 分,满分 36 分) 1. 数列 1, 2, 3,2? 的一个通项公式为 an ? .

【答案】 an ? n 试题分析:因为数列 1, 2, 3,2? 可看做 1, 2, 3, 4,?, n , 因此该数列一个通项公式为 an ? n . 2. 3. 若三个数 5 ? 2 6, m,5 ? 2 6 成等比数列,则 m=________. ?1 数列 {an } 为等差数列, a1 , a2 , a3 为等比数列, a5 ? 1 ,则 a10 ? .

?(a1 ? d ) 2 ? a1 (a1 ? 2d ) ?a1 ? 1 d 试题分析:设公差为 ,由已知, ? ,解得 ? ,所以, a10 ? 1 . a1 ? 4d ? 1 ?d ? 0 ?
设 是等差数列 的前 项和,已知 ,则 等于 . ,若 , ,则 ___________ .49

4.

【解析】在等差数列中, 5. 数列 的前 n 项和为

【解析】因为 an+1=3Sn,所以 an=3Sn-1(n≥2),两式相减得:an+1-an=3an, 即 =4(n≥2),所以数列 a2,a3,a4,…构成以 a2=3S1=3a1=3 为首项,公比为 4 的等比数列,
4 4

所以 a6=a2·4 =3×4 6.

2 ? 已知 sin x ? ,x ? ( , ? ), 则角 x ? __________(用反三角函数符号表示). 3 2 2 【答案】 ? ?arcsin 3 1 x 的实数解的个数是______________4029 7. 方程 sin ? ?? x ? = 2014 ? ? ? 8. 函数 y ? tan( ? x) (? ? x ? 且x ? 0) 的值域是 . 2 4 4
试题分析:或 x ? ?1 .

?
4

?x?

?
4

且 x ? 0 ,所以

?

?? ? ? ? ? 3 ? -x ? ? , ? ? ? , ? ? ,根据正切函数的图像可知值域为 x ? 1 2 ?4 2 ? ? 2 4 ?

? )表示振动时,请写出在 ? 0, 2? ? 内的初相________. 4 ? 5? 5? f(x)=-2sin(3x+ )=2sin(3x+ ),所以在 ? 0, 。 2? ? 内的初相为 4 4 4
9. 函数 f(x)=-2sin(3x+

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10. 观察下列等式 23 ? 3 ? 5, 33 ? 7 ? 9 ? 11, 43 ? 13 ? 15 ? 17 ? 19, 53 ? 21 ? 23 ? 25 ? 27 ? 29,? ,若类似上面各式方法将 m3 分拆得到的等式右边最后一个数是 109 ,则正整数 m 等于____. 试题分析:依题意可得 m3 分拆得到的等式右边最后一个数 5,11,19,29 , . 所以第 n 项的通项为

an ? 5 ? (n ? 4)(n ?1) n ? N * .所以 5 ? (n ? 4)(n ? 1) ? 109,? n ? 9 .所以 m ? 10 .
? an ? ,当an为偶数时, 11. 已知数列 ?an ? 满足: a1=m (m 为正整数) , an ?1 ? ? 2 若 a6=1,则 m 所有可能 ?3an ? 1,当an为奇数时。 ?
的取值为__________。 【答案】4 5 32 12. 设数列{an}为等差数列,数列{bn}为等比数列.若 a1 ? a2 , b1 ? b2 ,且 bi ? ai2 (i ? 1, 2,3) ,则 数列{bn}的公比为 .

2 试 题 分 析 : 设 a1 , a2 , a3 分 别 为 a ? d , a, a ? d , 因 为 a1 ? a2 , 所 以 d ? 0 , 又 b2 ? b1 b3, 所 以 2 2 a4 ? ( a ? d )2 ( a? d ) ? (a 2 ? d 2) ,则 a 2 ? d 2 ? a 2 或 a 2 ? d 2 ? a 2 (舍) ,则 d ? ? 2a .若 d ? ? 2a ,则

q?

b2 a a ? ( 2 )2 ? (1 ? 2)2 ? 3 ? 2 2 ? 1 q ? ( 2 )2 ? 3 ? 2 2 b1 a1 a1 ,舍去;若 d ? 2a ,则 .

4 2 2 2 2 2 方法二:由题意可知 a2 ? a1 a3 ,则 a2 ? ? a1 a3 .若 a2 ? a1a3 ,易知 a1 ? a2 ? a3 ,舍去;若 a2 ? ? a1 a3 ,则

(

a a a3 a1 ? a3 2 ( 3 )2 ? 6( 3 ) ? 1 ? 0 ? ? 3 ?2 2 2 2 ) ? ?a1a3 a ? 6 a a ? a ? 0 a ? 0 a a 1 3 3 2 1 且 1 ,则 1 ,所以 1 , 则 a1 ,又
2 b3 a3 a ? 2 ? ( 3 )2 b1 a1 a1 ,且 q ? 1 ,所以 q ? 3 ? 2 2 .

q2 ?

二、选择题(本大题共 4 题,每题 4 分,满分 16 分) 13. 将函数 y ? sin( x ? 左平移

?
3

) 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变) , 再将所得的图象向

? 个单位,得到的图象对应的僻析式是( ) 3 1 1 ? A. y ? sin x B. y ? sin( x ? ) 2 2 2 1 ? ? C. y ? sin( x ? ) D. y ? sin(2 x ? ) 2 6 6
试题分析:将的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变) ,可得函数 y ? sin( x ? 所得的图象向左平移

?
3

) ,再将

? 1 ? 1 ? 个单位,得函数 y ? sin[ ( x ? )] ,即 y ? sin( x ? ) 故选 C. 2 3 2 6 3

考点:函数 y=Asin(ω x+φ )的图象变换.
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14. 函数 f(x)=

1 ? cos2 x ( cos x

)

?? ?? ? ? 3? ? ? 3? ? A.在 ? ? 、 ? , ? ? 上递增,在 ?? , ? 、 ? , 2? ? 上递减 ?0, 2 ? ?2 ? ? 2 ? ? 2? ? ? ? ? 3? ? ?? ? ? 3? ? B.在 ? 2? ? 上递减 ?0, ? 、 ? ?, ? 上递增,在 ? , ? ? 、 ? ,
? 2? ? 2 ? ?2 ? ? 2 ? ? ? C.在 ? ?? 、? ? , ?2 ? ?

?

3? ? ? 3? ? ? ?? , 2? ? 上递增,在 ?0, ? 、 ? ?, ? 上递减 2 2 ? 2 ? ? ? ? ?

D.在 ? ?? ,

3? 2

? ? 3? ? ?? ? ? ?? ? 、 ? , 2? ? 上递增,在 ?0, ? 、 ? , ? ? 上递减 2 2 ? ? ? ?2 ? ? ?

试题分析:f ( x) ?

1 ? cos 2 x 2 | sin x | ? 3? ? ? ? ?? ? , 在? 在 ?? , ? ? , ? ? 上 f ( x) ? 2 tan x 递增, ? 、 ?、 ?0, 2 2 ? ? ? ? 2 ? cos x cos x ?

? 3? ? ? , 2? ? 上, f ( x) ? ? 2 tan x 递减,故选 A ? 2 ?

15. 数列 A. -3

满足 B.

表示 C. 3

前 n 项之积,则 D.

的值为(

)

【解析】由



,所以





,所以



以 3 为周期的周期数列,且

,又

,所以

,选 A.

16. 已知正项等比数列 小值为( A. 【解析】因为 ,即 所以 )

满足:

,若存在两项

使得

,则

的最

B. ,所以 , ,即 。 ,即 ,即

C. ,解得 ,

D. 不存在 。若存在两项 ,有

所以



当且仅当 所以



取等号,此时 ,选 A.



时取最小值,所以最小值为

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三、解答题(本大题共 4 题,满分 48 分 8’+12’ +12’+16’=48’)

1 ,求 sin y ? cos2 x 的最大值 3 1 1 【解】由已知条件有 sin y ? ? sin x 且 sin y ? ? sin x ? ? ?1,1? (结合 sin x ? ??1,1? ) 3 3 2 1 2 2 得 ? ? sin x ? 1 ,而 sin y ? cos2 x = ? sin x ? cos 2 x = ? sin x ? sin x ? 3 3 3
17. 已知 sin x ? sin y ? 令 t ? sin x ? ?

2? 2 ? ? 2 ? ? t ? 1? 则原式= t 2 ? t ? ? ? ? t ? 1? 3? 3 ? ? 3 ?
2 2 4 即 sin x ? ? 时,原式取得最大值 。 3 3 9

根据二次函数配方得:当 t ? ?

18. 已知函数 f(x)=

1 3 2 sin 2x-cos x- ,x∈R. 2 2

(1)求函数 f(x)的最小值和最小正周期; (2)设△ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,且 c= 3 ,f(C)=0,若 sin B=2sin A,求 a,b 的 值. 【答案】 (1)-2 【解析】(1)f(x)= π (2)a=1 且 b=2

1 ? cos 2 x 1 ? 3 sin 2x- - =sin(2x- )-1,则 f(x)的最小值是-1-1=-2,且 2 2 6 2

f(x)的最小正周期 T= (2)f(C)=sin(2C- ∵0<C<π , ∴-

? ? )-1=0,则 sin(2C- )=1. 6 6

2? =π . 2

? ? 11 ? ? ? <2C- < π ,因此 2C- = ,∴C= . 6 6 6 6 2 3
2 2 2

∵sin B=2sin A 及正弦定理,得 b=2a.① 由余弦定理,得 c =a +b -2abcos ∴a +b -ab=3,② 由①②联立,得 a=1 且 b=2. 19. 在等差数列 ?an ? 中, a1 ? a2 ? 7 , a3 ? 8 .令 bn = (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn ; (3)是否存在正整数 m , n ( 1 ? m ? n ),使得 T1 , Tm , Tn 成等比数列?若存在,求出所有的 m , n 的 值;若不存在,请说明理由.
2 2

? ,且 c= 3 , 3

1 ,数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn . an an ?1

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试题解析: (1)设数列 {an } 的公差为 d ,由 ? 解得 a1 ? 2 , d ? 3 ∴ an ? 2 ? 3(n ?1) ? 3n ?1 (2)∵ bn ?

? a1 ? a2 ? 7 ?a1 ? a1 ? d ? 7 得? ? a3 ? 8 ?a1 ? 2d ? 8

1 1 1 1 1 1 ? ? ? ( ? ) an an?1 (3n ? 1)[3(n ? 1) ? 1] (3n ? 1)(3n ? 2) 3 3n ? 1 3n ? 2

∴ Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn

1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ( ? ) ? ( ? ) ??? ( ? ) 3 2 5 3 5 8 3 3n ? 1 3n ? 2 1 1 1 ? ( ? ) 3 2 3n ? 2

?

n 2(3n ? 2)

(3)由(1)知, T1 ?

m n 1 , Tm ? , Tn ? 10 2(3m ? 2) 2(3n ? 2)

假设存在正整数 m 、 n (1 ? m ? n) ,使得 T1 、 Tm 、 Tn 成等比数列,
2 则 Tm ? T1 ? Tn , 即 [

m 1 n ]2 ? ? 2(3m ? 2) 10 2(3n ? 2)

经化简,得

m2 n ? 2 (3m ? 2) 5(3n ? 2)
2 2

∴ (3m ? 2) n ? 15m n ? 10m
2

∴ (?3m ? 6m ? 2)n ? 5m
2

2

(*)

当 m ? 2 时, (*)式可化为 2n ? 20 ,所以 n ? 10 当 m ? 3 时, ?3m ? 6m ? 2 ? ?3(m ?1) ? 5 ? ?7 ? 0
2 2
2 又∵ 5m ? 0 ,∴(*)式可化为 n ?

5m2 ? 0 ,所以此时 n 无正整数解. ?3m2 ? 6m ? 2

综上可知,存在满足条件的正整数 m 、 n ,此时 m ? 2 , n ? 10 . 20. 已知函数 f ( x) ? 3x2 ? 1, g ( x) ? 2 x ,数列 ?an ? 满足对于一切 n ? N * 有 an ? 0 , 且 f (an ? 1) ? f (an ) ? g (an?1 ? ) .数列 ?bn ? 满足 bn ? log an a

3 2



1 1 . , bl ? 1 ? 3l 1 ? 3k (1)求证:数列 ?an ? 为等比数列,并指出公比;
设 k , l ? N * , bk ?
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(2)若 k ? l ? 9 ,求数列 ?bn ? 的通项公式;

(3)若 k ? l ? M 0 ( M 0 为常数) ,求数列 ?an ? 从第几项起,后面的项都满足 an ? 1 . 解(1)? f (an ? 1) ? f (an ) ? g (an?1 ? )

3 2

故数列 ?an ? 为等比数列,公比为3. (Ⅱ) bn ? log an a ?

a 3 ? 3(an ? 1) 2 ? 3an 2 ? 1 ? 2(an ?1 ? ),即6a n ? 2an ?1 ? n ?1 ? 3 2 an
1 ? log a an bn

?

a 1 1 ? ? log a n ?1 ? log a 3 bn ?1 bn an

?1? 1 ? ? 所以数列 ? bn ? 是以 b1 为首项,公差为 loga3 的等差数列.
1 1 ? 1 ? 3l ? 1 ? 3k b b l 又 log a 3 ? k ? ? ?3 k ?l k ?l 1 ? 1 1 ? a ? 3 3 ? ( )3 3


1 1 ? ? (k ? 1)(?3) =1+3 l ,且 k ? l ? 9 bk b1

1 ? 3(k ? l ) ? 2 ? 25 b1 ? 1 1 ? 25 ? (n ? 1)(?3) ? 28 ? 3n ? bn ? bn 28 ? 3n

(Ⅲ)? k ? l ? M 0 ?

1 ? 3M 0 ? 2 b1

?

1 ? 3M 0 ? 2 ? (n ? 1)(?3) ? 3M 0 ? 3n ? 1 bn
1 ? 0 ,于是原命题等价于 bn

假设第 m 项后有 an ? 1

1 1 1 ? a ? ( ) 3 ? (0,1) ? ? log a an ? 0 3 bn

即第 m 项后

? 1 ? b ?0 ? 3M 0 ? 3m ? 1 ? 0 2 1 ? m ?? ? M0 ? ? m ? M0 ? ? 3 3 ? 1 ? 0 ?3M 0 ? 3(m ? 1) ? 1 ? 0 ? ? bm ?1 ? m ? N * ? m ? M 0 故数列 ?an ? 从 M 0 ? 1 项起满足 an ? 1 .

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