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江西省赣州市十三县(市)2015-2016学年高一下学期期中联考数学试题


2015—2016 学年度第二学期赣州市十三县(市)期中联考

高一数学试卷
命题人:
无效。 第Ⅰ卷(选择题)

审题人:

本试卷分 第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.请将答案写在答题卡上,写在本试卷上

一.选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,每题只有一个选项符合题意, 请将正确答案转涂到答题卡相应的位置) 1.设 Sn 是等差数列 ?an ? 的前 n 项和,已知 a2 ? 3 , a6 ? 11 ,则 S7 等于( A.13 B.35 C.49 D. 63 2.下列命题正确的是( ) A.单位向量都相等 ? ? ? ? ? ? B.若 a 与 b 是共线向量, b 与 c 是共线向量,则 a 与 c 是共线向量 )

? ? ? ? ? ? C. a ? b ? a ? b 则 a ? b ? 0 ? ? ? ? D.若 a0 与 b0 是单位向量,则 a0 ? b0 ? 1
3.在 ?ABC 中,若 A ? 45 °, B ? 60 °, a ? 2 ,则 b =( A. ) D. 2 6 )

6

B. 2

C. 3

? ? ? ? ? ? 4.已知 a , b 的夹角是 120°,且 a ? (?2, ?4) , b ? 5 ,则 a 在 b 上的投影等于(
A. ?
5 2

B. ? 5

C. 2 5

D.

5 2

5.已知 {an } 是等比数 列,且 an ? 0 , a2a4 ? 2a3a5 ? a4a6 ? 25 ,那么 a3 ? a5 ? ( B. 15 C. 5 D.6 ? ? ? ? ? ? ? 6.已知平面向量 a 与 b 的夹角为 ,且 b ? 1 , a ? 2b ? 2 3 则 a ? ( ) 3 A.1 B. 3 C.2 D.3 ) A. 10



7.已知 ?an ? 为等比数列, a4 ? a7 ? 2 , a5a6 ? ?8 ,则 a1 ? a10 ? ( A. 7 B. 5 C. ??

D. ??

8.在 ?ABC 中,a ? x ,b ? 2 ,B ? 45? ,若此三角形有两解,则 x 的取值范围是( A. x ? 2 B. x ? 2 C. 2 ? x ? 2 2 D. 2 ? x ? 2 3



9 .已知甲、乙两地距丙的距离均为 100km ,且甲地在丙地的北偏东 20? 处,乙地在丙地 的南偏东 40? 处,则甲乙两地的距离为( A.100 km B.200 km ) D. 100 3km )

C. 100 2km

10. 在 ?ABC 中, B ? 30? , AB ? 2 3 , AC ? 2 ,则 ?ABC 的面积为( A. 2 3 B.

3

C. 2 3 或 4 3

D.

3或2 3

[来源:学.科.网]

11. 互不相等的三个正数 x1 , x2 , x3 成等比数列,且 P1( log a x1 , logb y1 ) , P2( log a x2 ,

logb y2 ),P3 (loga x3 , logb y3 ) 三点共线(其中 a ? 0 ,a ? 1 ,b ? 0 ,b ? 1 ),则 y1 , y2 , y3
( ) A.等差数列,但不是等比数列; C.等比数列,也可能成等差数列 12.设函数 f ( x) ? 2 x ? cos x , {an } 是公差为 则 [ f (a3 )]2 ? a1a5 ? ( A. 0 ) B.
1 2 ? 16
[来 源 :学 |科 |网 ]

B.等比数列而非等差数列 D.既不是等比数列,又不是等差数列

? 的等差数列, f (a1 ) ? f (a2 ) ???? ? f (a5 ) ? 5? , 8

1 C. ? 2 8

D.

13 2 ? 16

第Ⅱ卷(非选择题) 二.填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,请将正确答案 转填到答题卡相 应的位置)

? ? ? ? ? ? ? ? ? 13.若非零向量 a , b 满足 a ? b , (2a ? b) ? b ? 0 ,则 a 与 b 的夹角为

.

tan A 3 14.设 ?ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,且满足 a cos B ? b cos A ? c ,则 tan B 5

的值是 15 . 若 数 列

.

?xn ?

满 足 l g xn?1 ? ? 1 xn l g n? N (*

, 且 , 则 ) x1 ? x ? 2 ?x ? 1 100 0

lg( x11 ? x12 ? ? x20 ) ? ___.
16.数列 ?an ? 的通项公式 an ? n cos
n? ? 1 ,前 n 项和为 Sn ,则 S2016 ? ___________. 2

三.解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤, 请将正确答案转填到答题卡相应的位置) 17. (本小题满分 10 分) ? ? ? ? ? ? ? 已知向量 a, b 满足: a ? 1, b ? 6, a ? b ? a ? 2

?

?

? ? (1)求向量 a 与 b 的夹角
? ? (2)求 2a ? b

18. (本小题满分 12 分)

?? 已知 ?ABC 的三个内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c. m ? (1,1)
?? ? ? 3 n?( ? sin B sin C , cos B cos C ) 且 m ? n 2
(1)求 A 的大小 (2)若 a ? 1, b ? 3c .求 S?ABC
[来源:学科网 ZXXK]

19. (本小题满分 12 分) 已知等差数列 ?an ?的前 n 项和为 Sn , S 3 ? 15 , a3 和 a5 的等差中项为 9 (1)求 an 及 Sn (2)令 bn ?

4 (n ? N * ) ,求数列 ?bn ?的前 n 项和 Tn an ? 1
2

20. (本小题满分 12 分)

?? ? 已知 ?ABC 的角 A, B, C 所对的边分别是 a, b, c ,设向量 m ? (a, b) , n ? (sin B,sin A) , ? ? p ? (b ? 2, a ? 2) ?? ? (1)若 m / / n ,求证: ?ABC 为等腰三角形

?? ? ? ? (2)若 m ? p ,边长 c ? 2 角 C = ,求 ?ABC 的面积 3

21. (本小题满分 12 分) 已知数列 {a n } 的各项均为正数, S n 是数列 {a n } 的前 n 项和,且 4S n ? a n ? 2a n ? 3 (1)求数列 {a n } 的通项公式
n (2)已知bn ? 2 , 求Tn ? a1b1 ? a 2 b2 ? ? ?a n bn 的值
2

22. (本小题满分 12 分)
设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,满足 2Sn ? an?1 ? 2n?1 ? 1 , n ? N ,且 a1 , a2 ? 5, a3 成等差数列
*

(1) 求 a1 的值 (2) 求数列 ?an ? 的通项公式

2015—2016 学年度第二学期赣州市十三县(市)期中联考
高一数学参考答案 一、选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C C A B C C D C D D C D 二、填空题 2? 13. ; 14. 4; 15. 12; 16. 3024 ; 3 三、解答题 ? ? ? ? ? ? 17. 解: (1)设向量 a 与 b 的夹角为 ? , a ? b ? a b cos? ? 6cos? , ? ? ? ? ? ?2 1 ? ? a ? b ? a ? a ? b ? a ? 6cos? ? 1 ? 2 ,得 cos ? ? ?? ??0,? ? ,?? ? 3 ……………5 分 2 ?2 ? ? ?2 ? ? 2 ? ? (2) 2a ? b ? 2a ? b ? 4a ? 4a ? b ? b ? 4 ? 12 ? 36 ? 2 7 ……………………10 分 3 18. 解: (1)? m ? n ? ? sinB sinC ? cos B cosC ? 0 2 3 3 即 ? cos A ? ……………………………3 分 ? cos(B ? C ) ? ? 2 2 ? ? 0 ? A ? ? ,? A ? ? A为?ABC的内角, ………………………………… 6 分 6 (2) 若 a ? 1, b ? 3c. 由余弦定理 b 2 ? c 2 ? a 2 ? 2bc ? cos A 得 c 2 ? 1

?

?

?

?

1 3 2 3 ………12 分 bc ? sin A ? c ? 2 4 4 19. 解: (1)因为 ?an ?为等差数列,所以设其首项为 a1 ,公差为 d

所以 S ?ABC ?

?a1 ? d ? 5 因为 S3 ? 3a2 ? 15 , a3 ? a5 ? 18 ,所以 ? ,解得 a1 ? 3 , d ? 2 ………2 分 2 a ? 6 d ? 18 ? 1 所以 an ? a1 ? (n ?1)d ? 3 ? (n ?1) ? 2 ? 2n ? 1 ……4 分
n(n ? 1) n(n ? 1) d ? 3n ? ? 2 ? n 2 ? 2n ; ……………………………………6 分 2 2 4 4 1 1 1 1 ? 2 ? 2 ? ? ? (2) 由 (1) 知 an ? 2n ? 1 , 所以 bn ? 2 , an ? 1 4n ? 4n n ? n n(n ? 1) n n ? 1 ……9 S n ? na1 ?


1 1 1 1 1 1 1 1 n Tn ? b1 ? b2 ? b3 ? ? ? bn ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? ) ? 1? ? . 2 2 3 3 4 n n ?1 n ? 1 n ? 1 …… …12 分 a b a? ? b? ? m // n , ? a sin A ? b sin B ,即 2 R 2 R ,其中 R 是三角形 ABC 外接 20.证明: (1)

圆半径, ? a ? b .? ?ABC 为等腰三角形.

………4 分

[来源:学,科,网 Z,X,X,K]

(2)由题意可知 m ? p ? 0,即a(b ? 2) ? b(a ? 2) ? 0. ? a ? b ? ab. ………6 分
2 2 2

[来源:Zxxk.Com]

由余弦定得理可知, 4 ? a ? b ? ab ? (a ? b) ? 3ab 2 即 (ab) ? 3ab ? 4 ? 0.? ab ? 4(舍去ab ? ?1), ……………… …………………10 分 1 1 ? ? S ? ab sin C ? ? 4 ? sin ? 3. 2 2 3 ………………………………………12 分 21 解:(1)当 n=1 时, a1 ? s1 ? a12 ? a1 ? , 解出 a1=3 ,(a1=-1 舍)………2 分 又 4Sn=an2+2an-3① 当 n ? 2 时 4sn-1= a n2?1 +2an-1-3②…………………………………………………4 分
2 2 2 2 an ? an ①-② 4an ? an ? an ?1 ? 2( a n ? a n ?1 ) ? 0 , ?1 ? 2( an ? an ?1 ) ,即 ∴ (an ? an?1 )(an ? an?1 ? 2) ? 0 ,

1 4

1 2

3 4

, ? a n ? a n ?1 ? 0 ? a n ? a n ?1 ? 2 ( n ? 2 )
? 数列{a n } 是以 3 为首项,2 为公差的等差数列,

? a n ? 3 ? 2(n ? 1) ? 2n ? 1 .

………………………………………………………6 分 (2) Tn ? 3 ? 21 ? 5 ? 22 ? ? ? (2n ? 1) ? 2n ③ 又 2Tn ? 3 ? 22 ? 5 ? 23 ? ? (2n ? 1) ? 2n ? (2n ? 1)2n?1 ④ ④-③ Tn ? ?3 ? 21 ? 2(2 2 ? 2 3 ? ? ? 2 n ) ? (2n ? 1)2 n?1
? ?6 ? 8 ? 2 ? 2 n ?1 ? (2n ? 1) ? 2 n ?1

? (2n ? 1)2 n ?1 ? 2 ……………………………………………………………………12 分
?2a1 ? a2 ? 3 ? 22 解:(1)由 ?2 ? a1 ? a2 ? ? a3 ? 7 ,解得 a1 ? 1 . …………………………………4 分 ? ?2 ? a2 ? 5 ? ? a1 ? a3

(2)由 2Sn ? an?1 ? 2n?1 ? 1 可得 2Sn?1 ? an ? 2n ? 1 ( n ? 2 ) 两式相减,可得 2an ? an?1 ? an ? 2n ,………6 分 即 an?1 ? 3an ? 2n ,即 an?1 ? 2n?1 ? 3? an ? 2n ? ………9 分 所以数 列 ?an ? 2n ? ( n ? 2 )是一个以 a2 ? 4 为首项,3 为公比的等比数列. ………10 分 由 2a1 ? a2 ? 3 可得, a2 ? 5 , 所以 an ? 2n ? 9 ? 3n?2 ,即 an ? 3n ? 2n ( n ? 2 ), 当 n ? 1 时, a1 ? 1 ,也满足该式子, …………………………………………………11 分 所以数列 ?an ? 的通项公式是 an ? 3n ? 2n . …………………………………………12 分


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