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一元二次不等式(二)含参数不等式的解法与恒成立问题修改版


一元二次不等式恒成立和根的分布

考点一

课堂互动讲练 一元二次不等式的解法

解一元二次不等式的一般步骤 (1)对不等式变形,使一端为0且二次项系数 大于0,即ax2+bx+c>0(a>0),ax2+bx+ c<0(a>0). (2)计算相应的判别式. (3)当Δ≥0时,求出相应的一元二次方程的 根. (4)根据对应二次函数的图象,写出不等式的 解集.

二次函数的区间恒成立问题
恒成立问题求参数范围常规思路: 方法一:利用函数性质(二次函数性质). 方法二:分离参数,转化为求函数最值.
? a<f(x)恒成立?

a<f(x)min ? a>f(x)恒成立? a>f(x)max

例1

课堂互动讲练 已知f(x)=x2-2ax+2,当x∈[-1,+∞)
时,f(x)≥a恒成立,求a的取值范围.

【思路点拨】 可以从函数的角度进行 考虑,转化为函数求最值问题,也可以从方 程的角度考虑,可转化为对方程根的讨论.

?

若关于x的不等式ax2+2x+2>0在R上恒成立,求实 数a的取值范围.
? 题目给出的不等式疑似一元二次不等式,需讨 论a=0和a≠0两种情况.当a≠0时,由二次函数 的图象可知,要使不等式在R上恒成立,只需a >0且Δ<0.

变式:关于的x不等式ax2+2x+2 < 0在r上恒成立,
求实数a的范围

[解题过程] 当 a=0 时, 原不等式可化为 2x+2>0, 其 解集不为 R,故 a=0 不满足题意,舍去; 当 a≠0 时,要使原不等式的解集为 R,
?a>0 ? 1 只需? ,解得 a>2. 2 ?Δ=2 -4×2a<0 ?

综上,所求实数 a

?1 ? ? 的取值范围为?2,+∞?. ? ? ?

[题后感悟] 此类问题的解决方法可总结如下:
?a>0 ? 2 (1)ax +bx+c>0(a≠0)恒成立?? ?Δ<0 ? ?a<0 ? +bx+c<0(a≠0)恒成立?? ?Δ<0 ?



(2)ax

2

.

注意:如果没有对a ≠0进行说明,要对a=0进行讨论

与一元二次不等式有关恒成立的问题
知识概要
(1)二次不等式a x2 +bx +c > 0恒成立
?a ? 0 ?? ? ? b2 ? 4ac ? 0 ? (2)二次不等式a x2 +bx +c < 0恒成立 ?a ? 0 ?? ? ? b2 ? 4ac ? 0 ?

例3:已知关于x的不等式:
(a-2)x2 + (a-2)x +1 ≥ 0恒成立, 试求a的取值范围.
解:由题意知: ①当a -2=0,即a =2时,不等式化为 1 ≥ 0,它恒成立,满足条件. ②当a -2≠0,即a ≠2时,原题等价于 ?a ? 2 ? 0 ?a ? 2 ? 即? (a ? 2)2 ? 4(a ? 2) ? 0 ? ?(a ? 2)(a ? 6) ? 0

(3)二次不等式a x2 +bx +c ≥ 0恒成立 ?a ? 0 ?? ? ? b2 ? 4ac ? 0 ? (4)二次不等式a x2 +bx +c ≤ 0恒成立

?a ? 2 即? ?2 ? a ? 6

所以2 ? a ? 6

?a ? 0 ?? 2 ?? ? b ? 4ac ? 0
2013年5月24日11时6分

综上: 2 ? a ? 6

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考点三

一元二次不等式恒成立问题 课堂互动讲练

一元二次不等式恒成立问题 1.解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量,谁是 参数.一般地,知道谁的范围,谁就是变量,求谁的 范围,谁就是参数.
2.对于二次不等式恒成立问题,恒大于0就是相 应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上 方,恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区 间上全部在x轴下方.

[题后感悟] 此类问题的解决方法可总结如下:
?a>0 ? 2 (1)ax +bx+c>0(a≠0)恒成立?? ?Δ<0 ?



?a<0 ? (2)ax +bx+c<0(a≠0)恒成立?? . ?Δ<0 ? (3)ax2+bx+c≥0(a≠0)恒成立;? ?a ? 0 ? 2 ?? ? b ? 4ac ? 0
2

?a ? 0 (4)ax +bx+c≤0(a≠0)恒成立. ? ?? ? b 2 ? 4ac ? 0 ?
2

注意:如果没有对a ≠0进行说明,要对a=0进行讨论

练一练
几个关于一元二次不等式的解集的问题: ⑴不等式 ?a ? 2?x 2 ? 2?a ? 2?x ? 4 ? 0 对于 x ? R 恒成 ?2, 2 立,那么 a 的取值范围是__________.

?

?

⑵集合 A={x|10+3x-x ≥0},B={x|m+1≤x≤2m+1},当 m<0 或 A∩B=φ 时,m 的取值范围是________. m>4
练习1:若 b范围。

2

y ? lg( x ? 5x ? b)的定义域为R,求

2

25 b ? ( ? ?,? ) 4
2013年5月24日11时6分 13

第二课时

求解一元二次不等式的三个步骤:

解方程,画草图,写解集.
若ax ? bx ? c ? 0(a ? 0)有两根x1 , x2 ( x1 ? x2 )
2

则ax ? bx ? c ? 0的解集可记忆为“大于取两边”
2

ax ? bx ? c ? 0的解集可记忆为“小于取中间”
2

二次函数的区间恒成立问题
? a<f(x)恒成立?

a<f(x)min ? a>f(x)恒成立? a>f(x)max

[题后感悟] 此类问题的解决方法可总结如下:
?a>0 ? 2 (1)ax +bx+c>0(a≠0)恒成立?? ?Δ<0 ? ?a<0 ? +bx+c<0(a≠0)恒成立?? ?Δ<0 ?
2



(2)ax

2

.


(3)ax

?a>0 ? +bx+c≥0(a≠0)恒成立?? ?Δ<0 ? ?a<0 ? +bx+c≤0(a≠0)恒成立?? ?Δ<0 ?

(4)ax

2

.

注意:如果没有对a ≠0进行说明,要对a=0进行讨论

复习回 顾
一元二次方程的根与系 数的关系 (韦达定理)

b x1 ? x 2 ? ? a

c x1 ? x 2 ? a
18

若不等式 ax +bx+c≥0 等式 cx2+bx+a<0 的解集.

2

? ? 1 ? 的解集是?x?-3≤x≤2 ? ? ?

? ? ?, 求不 ? ?

? ? ? ?

由题目可获取以下主要信息: ①不等式中含有参数; ②不等式解集已知. 解答本题可先判断二次项系数的符号,然后 根据三个二次之间的关系求字母的取值,再 进一步求解.

[ 解题过程]
? ? 1 ? ?x?- ? ? 3 ? ? ? ≤x≤2?知 ? ?

方 法一 : 由 ax2 + bx+ c≥0 的解集为 a<0, c>0.

? 1? c 又?-3?×2=a<0,则 ? ?

1 又-3,2 为方程 ax2+bx+c=0 的两个根. b 5 b 5 ∴- = ,∴ =- , a 3 a 3 c 2 5 2 又a=-3,∴b=-3a,c=-3a.

? 2 ? ? 5 ? 2 ∴不等式变为?-3a?x +?-3a?x+a<0, ? ? ? ?

即 2ax2+5ax-3a>0, 又∵a<0,∴2x2+5x-3<0.
? ? ? 1 ∴所求不等式的解集为?x?-3<x<2 ? ? ? ? ? ?. ? ?

方法二:由已知得 a<0
? 1? c ?- ?×2= 知 a ? 3?

? 1? b ?- ?+2=- , 且 3 a ? ?

c>0.

设方程 cx2+bx+a=0 的两根分别为 x1,x2, b a 则 x1+x2=-c ,x1·2=c, x a 其中 =? c 1 , 1? ?- ?×2 ? 3?

b ? 1? -a ?-3?+2 b 1 1 ? ? -c= c =? 1? =? 1?+2. ?- ?×2 ?- ? a ? 3? ? 3?
∴不等式
? ? ? 1 2 cx +bx+a<0(c>0)的解集为?x?-3<x<2 ? ? ? ? ? ?. ? ?

2.已知不等式 ax +bx+2>0 求 2x2+bx+a<0 的解集.

2

? ? 1 ? 1 ?x?- <x< 的解集为 3 ? ? 2 ?

? ? ?, ? ?

1 1 解析: ∵ax +bx+2>0 的解为-2<x<3,
2

1 1 ∴- , 是方程 ax2+bx+2=0 的两实根. 2 3 b ? 1 1 ?-2+3=-a 由根与系数的关系得? ?-1×1=2 ? 2 3 a
?a=-12 ? ,解得? ?b=-2 ?

.

∴2x2 +bx+a<0?2x2 -2x-12<0?x2 -x-6<0?(x -3)(x+2)<0?-2<x<3. ∴2x2+bx+a<0 的解集为{x|-2<x<3}.

三基能力强化
已知(ax-1)(x-1)>0的解集是{x|x<1或x>2},则 实数a的值为________.

1 答案: 2

(三)二次函数图象的应用

例3 分别求使方程x2-mx-m+3=0的两根满足下列条 件的m值的集合:
(1)两根都大于0; (2)一个根大于0,另一个根小于0; (3)两根都小于0;
X=m/2

x1

x2

解:令f(x)=x2-mx-m+3且图像与x轴相交 则△=m2-4(-m+3)=(m+6)(m2)≥0 得m≤-6或m≥2.

(三)二次函数图象的应用

例3 分别求使方程x2-mx-m+3=0的两根满足下列条件的m值 的集合:
(1)两根都大于0;

解: (1) ∵两根都大于0
?? ? 0 ?m ? ?? ? 0 ?2 ? f (0) ? 0 ?

?m ? ?6或m ? 2 ? 即 ?m ? 0 ??m ? 3 ? 0 ?

X=m/2

o

x1

x2

∴ 2≤ m<3.

(三)二次函数图象的应用

例3 分别求使方程x2-mx-m+3=0的两根满足下列条件的m值 的集合: (2)一个根大于0,另一个根小于0; 解: (2) ∵一个根大于0,另一个根小于0;
? ??0 ?? ? f (0) ? 0

? m ? ?6或m ? 2 即? ? ?m ? 3 ? 0
x1 o

X=m/2

∴ m>3.

x2

(三)二次函数图象的应用 例3 分别求使方程x2-mx-m+3=0的两根满足下列条件的m 值的集合: (3)两根都小于0;

解: (3) ∵两根都小于0
X=m/2

x1

o x2

0

3.一元二次方程根的分布.

?1? 方程ax 2+bx+c=0(a ? 0)两根:一正一负 ? ac ? 0;
? ? ?? ? 0 ?? ? 0 ? ? b b ? ? 两正根 ? ? x1 ? x2 ? ? ? 0 两负根 ? ? x1 ? x2 ? ? ? 0; a a ? ? c c ? ? ? x1 ? x2 ? a ? 0 ? x1 ? x2 ? a ? 0 ? ? 一零根 ? c=0.

? 2 ? 实系数二次方程ax 2+bx+c=0 ? a ? 0 ?的两根x1、x2
的分布范围与二次方程系数之间的关系,如下表所示:

三、练习

1.下列不等式中,解集为实数集R的是(

D



(A)

?x ? 1?

2

?0

(B)

x ?8 ? 0
3

(C)

x ?0
2

(D)

x ? 2x ? 3 ? 0
2
2

.当

a ? 0时, 不等式x ? ax ? 12a ? 0的解是( C )
(A)

x ? ?3a或x ? 4a

(B) (D)

? 3a ? x ? ?4a

(C)

4a ? x ? ?3a

? 3a ? x ? 4a

三、练习

3.(1)不等式ax2+bx+2>0的解集是{x|-1/2<x<1/3},则 a+b= -14 (a=-12,b=-2)
(2)关于x不等式ax2+bx+c>0的解集是{x|x<-2或X>1/2},

则关于x的不等式ax2-bx+c<0的解集为:x|-1/2<x<2} {

⑶ 对于任意实数x,ax2+4x-1≥-2x2-a,对于任意 实数恒成立,则实数a的取值范围为:a≤-3或a≥2

4.当m为何值时,方程x2-2mx+2m+3=0 -3/2<m≤-1 (1)有两个负实数根? m<-3/2 (2)有一个正根,一个负根. 3≤m< 7/2 (3)两根大于0.

达标检测

1. 要使关于 x 的方程 x +(a -1)x+a-2=0 的一根 比 1 大且另一根比 1 小,则 a 的取值范围是 2. 设 a∈R,关于 x 的一元二次方程 2 2 7x -(a+13)x+a -a-2=0 有两实根 x1,x2, 且 0<x1<1<x2<2,求 a 的取值范围.
2 2
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