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2013年全国统一(理科)(大纲版)高考数学试卷与解析答案


2013 年全国统一高考数学试卷(理科) (大纲版)
参考答案与试题解析
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分 .在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的 . 1. (5 分)设集合 A={1,2,3},B={4,5},M={x|x=a+b,a∈A,b∈ B},则 M 中元素的个数为( ) A. 3 B. 4 C. 5 D.6 考点: 集合中元素个数的最值;集合的确定性、互异性、无序性.

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专题: 计算题. 分析: 利用已知条件,直接求出 a+b,利用集合元素互异求出 M 中元素的个数即可. 解答: 解:因为集合 A={1,2,3},B={4,5},M={x|x=a+b,a∈ A,b∈ B}, 所以 a+b 的值可能为:1+4=5、1+5=6、2+4=6、2+5=7、3+4=7、3+5=8, 所以 M 中元素只有:5,6,7,8.共 4 个. 故选 B. 点评: 本题考查集合中元素个数的最值,集合中元素的互异性的应用,考查计算能力.

2. (5 分) A. ﹣8

=( B. 8

) C. ﹣8i D.8i

考点: 复数代数形式的混合运算. 分析:

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复数分子、分母同乘﹣8,利用 1 的立方虚根的性质( 解答: 解: 故选 A. 点评: 复数代数形式的运算,是基础题.

) ,化简即可.

3. (5 分) (2014?浙江二模)已知向量 =(λ+1,1) , =(λ+2,2) ,若( + )⊥ ( ﹣ ) ,则 λ=( A. ﹣4 B. ﹣3 C. ﹣2 D.﹣1



考点: 数量积判断两个平面向量的垂直关系.

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专题: 平面向量及应用. 分析: 利用向量的运算法则、向量垂直与数量积的关系即可得出. 解答: 解:∵ ∴ ∵ ∴ =(2λ+3,3) , , =0, , . .

∴ ﹣(2λ+3)﹣3=0,解得 λ=﹣3.
1

故选 B. 点评: 熟练掌握向量的运算法则、向量垂直与数量积的关系是解题的关键. 4. (5 分)已知函数 f(x)的定义域为(﹣1,0) ,则函数 f(2x+1)的定义域为( A. (﹣1,1) B. C. (﹣1,0) ) D.

考点: 函数的定义域及其求法. 专题: 函数的性质及应用.

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分析: 原函数的定义域,即为 2x﹣1 的范围,解不等式组即可得解. 解答: 解:∵ 原函数的定义域为(﹣1,0) , ∴ ﹣1<2x+1<0,解得﹣1<x<﹣ . ∴ 则函数 f(2x+1)的定义域为 故选 B?. 点评: 考查复合函数的定义域的求法,注意变量范围的转化,属简单题. .

5. (5 分)函数 A. B.

=( C. 2x ﹣1(x∈R)

) D.2x ﹣1(x>0)

考点: 反函数.

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专题: 函数的性质及应用. 分析: 把 y 看作常数,求出 x:x= 解答: 解:设 y=log2 (1+ ) , 把 y 看作常数,求出 x: 1+ =2y ,x=

,x,y 互换,得到 y=log2 (1+ )的反函数.注意反函数的定义域.

,其中 y>0,

x,y 互换,得到 y=log2 (1+ )的反函数:y= 故选 A.



点评: 本题考查对数函数的反函数的求法,解题时要认真审题,注意对数式和指数式的相互转化.

6. (5 分)已知数列{an }满足 3an+1 +an =0,a2 =﹣ ,则{an }的前 10 项和等于( A. ﹣6(1﹣3﹣10 ) B. C. 3(1﹣3﹣10 )

) D.3(1+3﹣10 )

考点: 等比数列的前 n 项和. 专题: 计算题;等差数列与等比数列.
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分析:

由已知可知,数列{an }是以﹣ 为公比的等比数列,结合已知
2

可求 a1 ,然后代入等比数列的求和公

式可求 解答: 解:∴ 3an+1 +an =0 ∴

∴ 数列{an }是以﹣ 为公比的等比数列 ∵ ∴ a1 =4
﹣10

由等比数列的求和公式可得,s 10 = 故选 C

=3(1﹣3



点评: 本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的简单应用,属于基础试题 7. (5 分) (1+x)3 (1+y)4 的展开式中 x2 y2 的系数是( ) A. 5 B. 8 C. 12 考点: 二项式系数的性质. 专题: 计算题.
2

D.18

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分析: 由题意知利用二项展开式的通项公式写出展开式的通项,令 x 的指数为 2,写出出展开式中 x2 的系数,第 二个因式 y 的系数,即可得到结果. 解答: 解: (x+1)3 的展开式的通项为 T r+1 =C3rxr 2 2 令 r=2 得到展开式中 x 的系数是 C3 =3, (1+y)4 的展开式的通项为 T r+1 =C4ryr 令 r=2 得到展开式中 y2 的系数是 C4 2 =6, (1+x)3 (1+y)4 的展开式中 x2 y2 的系数是:3×6=18, 故选 D. 点评: 本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题,本题解题的关键是写出二项式的展开 式,所有的这类问题都是利用通项来解决的.

8. (5 分) (2014?遵义二模)椭圆 C:

的左、右顶点分别为 A1 、A2 ,点 P 在 C 上且直线 PA2 斜率的取值 ) C.

范围是[﹣2,﹣1],那么直线 PA1 斜率的取值范围是( A. B.

D.

考点: 直线与圆锥曲线的关系;直线的斜率. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 由椭圆 C:

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可知其左顶点 A1 (﹣2,0) ,右顶点 A2 (2,0) .设 P(x0 ,y0 ) (x0 ≠±2) ,代入椭圆

方程可得

.利用斜率计算公式可得

,再利用已知给出的

的范围即可解出.

3

解答: 解:由椭圆 C: 可知其左顶点 A1 (﹣2,0) ,右顶点 A2 (2,0) .

设 P(x0 ,y0 ) (x0 ≠±2) ,则

,得





=



=



∴ ∵

=

= ,



∴ 故选 B.

,解得



点评: 熟练掌握椭圆的标准方程及其性质、斜率的计算公式、不等式的性质等是解题的关键. 9. (5 分) (2014?武汉模拟)若函数 f(x)=x2 +ax+ A. [﹣1,0] B. [﹣1,∞] C. [0,3]

是增函数,则 a 的取值范围是( D.[3,+∞]



考点: 利用导数研究函数的单调性. 专题: 导数的综合应用. 分析: 由函数 立,进而可转化为 a≥ a 的取值范围. 解答: 解:∵ 故 即 a≥

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在( ,+∞)上是增函数,可得 ﹣2x 在( ,+∞)上恒成立,构造函数求出

≥0 在( ,+∞)上恒成 ﹣2x 在( ,+∞)上的最值,可得

在( ,+∞)上是增函数 ≥0 在( ,+∞)上恒成立 ﹣2x 在( ,+∞)上恒成立 ﹣2x, ﹣2

令 h(x)=

则 h′ (x)=﹣

当 x∈( ,+∞)时,h′ (x)<0,则 h(x)为减函数 ∴ h(x)<h( )=3 ∴ a≥3 故选 D 点评: 本题考查的知识点是利用导数研究函数的单调性,恒成立问题,是导数的综合应用,难度中档.

4

10. (5 分)已知正四棱柱 ABCD﹣ A1 B1 C1 D1 中,AA1 =2AB,则 CD 与平面 BDC1 所成角的正弦值等于( A. B. C. D.



考点: 用空间向量求直线与平面的夹角;直线与平面所成的角. 专题: 综合题;压轴题;空间角;空间向量及应用. 分析: 设 AB=1,则 AA1 =2,分别以 的方向为 x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标
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系,设 =(x,y,z)为平面 BDC1 的一个法向量,CD 与平面 BDC1 所成角为 θ, 则 sinθ=| 解答: |,在空间坐标系下求出向量坐标,代入计算即可. 的方向为 x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角

解:设 AB=1,则 AA1 =2,分别以 坐标系, 如下图所示:

则 D(0,0,2) ,C1 (0,1,0) ,B(1,1,2) ,C(0,1,2) , =(1,1,0) , =(0,1,﹣2) , =(0,1,0) ,

设 =(x,y,z)为平面 BDC1 的一个法向量,则

,即

,取 =(﹣2,2,1) ,

设 CD 与平面 BDC1 所成角为 θ,则 sinθ=| 故选 A.

|= ,

点评: 本题考查直线与平面所成的角,考查空间向量的运算及应用,准确理解线面角与直线方向向量、平面法向 量夹角关系是解决问题的关键.

11. (5 分) 已知抛物线 C: y2 =8x 与点 M (﹣2, 2) , 过 C 的焦点, 且斜率为 k 的直线与 C 交于 A, B 两点, 若 则 k=( A. ) B. C. D.2

=0,

考点: 抛物线的简单性质;平面向量数量积的运算. 专题: 压轴题;圆锥曲线的定义、性质与方程.

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分析:

由抛物线 C:y =8x 得焦点(2,0) ,由题意可知:斜率 k≠0,设直线 AB 为 my=x﹣2,其中 的方程联立可得根与系数的关系,再利用 即可解出.

2

.与抛物线

解答: 解:由抛物线 C:y2 =8x 得焦点(2,0) , 由题意可知:斜率 k≠0,设直线 AB 为 my=x﹣2,其中 ,得到 y2 ﹣8my﹣16=0,△ >0, .

联立

设 A(x1 ,y1 ) ,B(x2 ,y2 ) .∴ y1 +y2 =8m,y1 y2=﹣16. 又 ∴ , ,

=(x1 +2) (x2+2)+(y1 ﹣2) (y2 ﹣2)=(my1 +4) (my2 +4)+(y1 ﹣2) (y2 ﹣2)
2

=(m2 +1)y1 y2 +(4m﹣2) (y1 +y2 )+20=﹣16(m2 +1)+(4m﹣2)×8m+20=4(2m﹣1)2 由 4(2m﹣1) =0, 解得 ∴ 故选 D 点评: 本题综合考查了抛物线的性质、直线与抛物线相交转化为方程联立得到根与系数的关系、向量的数量积运 算等基础知识,考查了推理能力、计算能力及分析问题和解决问题的能力. 12. (5 分)已知函数 f(x)=cosxsin2x,下列结论中错误的是( ) A. y=f(x)的图象关于(π,0)中心对称 B. y=f(x)的图象关于 x= C. f(x)的最大值为 . .

对称

D.f(x)既是奇函数,又是周期函数

考点: 利用导数求闭区间上函数的最值;同角三角函数间的基本关系;二倍角的正弦;正弦函数的图象.

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专题: 综合题;压轴题;导数的综合应用;三角函数的图像与性质. 分析: 对于 A 选项,用中心对称的充要条件,直接验证 f(2π﹣x)+f(x)=0 是否成立即可判断其正误; 对于 B 选项,用轴对称的条件直接验证 f(π﹣x)=f(x)成立与否即可判断其正误; 对于 C 选项,可将函数解析式换为 f(x)=2sinx﹣2sin3 x,再换元为 y=2t﹣2t3 ,t∈[﹣1,1],利用导数求出 函数在区间上的最值即可判断正误; 对于 D 选项,可利用奇函数的定义与周期函数的定义直接证明. 解答: 解:对于 A 选项,因为 f(2π﹣x)+f(x)=cos(2π﹣x)sin2(2π﹣x)+cosxsin2x=﹣cosxsin2x+cosxsin2x=0, 故 y=f(x)的图象关于(π,0)中心对称,A 正确; 对于 B 选项,因为 f(π﹣x)=cos(π﹣x)sin2(π﹣x)=cosxsin2x=f (x) ,故 y=f(x)的图象关于 x= 称,故 B 正确; 对于 C 选项,f(x)=cosxsin2x=2sinxcos x=2sinx(1﹣sin x)=2sinx﹣2sin x,令 t=sinx∈[﹣1,1],则 y=2t ﹣2t3 ,t∈[﹣1,1],则 y′ =2﹣6t2 ,令 y′ >0 解得 [ ] 与[ ]上减,又 y(﹣1)=0,y( )= ,故 y=2t﹣2t3 ,在[ ,故函数的最大值为 ]上增,在 ,故 C 错误;
2 2 3



对于 D 选项,因为 f(﹣x)+f(x)=﹣cosxsin2x+cosxsin2x=0,故是奇函数,又 f(x+2π)=cos(2π+x)sin2
6

(2π+x)=cosxsin2x,故 2π 是函数的周期,所以函数即是奇函数,又是周期函数 ,故 D 正确 综上知,错误的结论只有 C, 故选 C 点评: 本题考查函数的中心对称性,轴对称性的条件,利用导数求函数在闭区间上的最值,函数奇偶性与周期性 的判定,涉及到的知识较多,综合性强,知识领域转换快,易导致错误 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分 . 13. (5 分)已知 α 是第三象限角,sinα=﹣ ,则 cotα= 2 .

考点: 同角三角函数间的基本关系. 专题: 三角函数的求值.

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分析: 根据 α 是第二象限的角,得到 cos α 小于 0,然后由 sinα 的值,利用同角三角函数间的基本关系求出 cos α 的值,进而求出 cotα 的值. 解答: 解:由 α 是第三象限的角,得到 cos α<0, 又 sinα=﹣ ,所以 cos α=﹣ 则 cotα= =2 =﹣

故答案为:2 点评: 此题考查学生灵活运用同角三角函数间的基本关系化简求值,是一道基础题.学生做题时注意 α 的范围. 14. (5 分)6 个人排成一行,其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有 480 考点: 排列、组合及简单计数问题;分步乘法计数原理. 专题: 计算题. 种. (用数字作答)

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分析: 排列好甲、乙两人外的 4 人,然后把甲、乙两人插入 4 个人的 5 个空位中即可. 解答: 解:6 个人排成一行,其中甲、乙两人不相邻的不同排法:排列好甲、乙两人外的 4 人,有 然后把甲、乙两人插入 4 个人的 5 个空位,有 所以共有: =480. 种方法,

中方法,

故答案为:480. 点评: 本题考查了乘法原理,以及排列的简单应用,插空法解答不相邻问题.

15. (5 分)记不等式组 [ ,4] .

所表示的平面区域为 D.若直线 y=a(x+1)与 D 有公共点,则 a 的取值范围是

考点: 简单线性规划. 专题: 压轴题;不等式的解法及应用.
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分析: 本题考查的知识点是简单线性规划的应用,我们要先画出满足约束条件 的平面区域,然后分

析平面区域里各个角点,然后将其代入 y=a(x+1)中,求出 y=a(x+1)对应的 a 的端点值即可.
7

解答: 解:满足约束条件 的平面区域如图示:

因为 y=a(x+1)过定点(﹣1,0) . 所以当 y=a(x+1)过点 B(0,4)时,得到 a=4, 当 y=a(x+1)过点 A(1,1)时,对应 a= . 又因为直线 y=a(x+1)与平面区域 D 有公共点. 所以 ≤a≤4. 故答案为:[ ,4]

点评: 在解决线性规划的小题时,我们常用“角点法”,其步骤为:① 由约束条件画出可行域?② 求出可行域各个角点 的坐标?③ 将坐标逐一代入目标函数?④ 验证,求出最优解. 16. (5 分)已知圆 O 和圆 K 是球 O 的大圆和小圆,其公共弦长等于球 O 的半径, ,则球 O 的表面积等于 16π .

考点: 球的体积和表面积.

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专题: 压轴题;空间位置关系与距离. 分析: 正确作出图形,利用勾股定理,建立方程,即可求得结论. 解答: 解:如图所示,设球 O 的半径为 r,AB 是公共弦,∠ OCK 是面面角 根据题意得 OC=
2

,CK=
2 2

在△ OCK 中,OC =OK +CK ,即 ∴ r2 =4 ∴ 球 O 的表面积等于 4πr =16π 故答案为 16π
2

8

点评: 本题考查球的表面积,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题. 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (10 分)等差数列{an }的前 n 项和为{Sn }.已知{S3 }= ,且{S1},{S2 },{S4}成等比数列,求{an}的通项式.

考点: 等差数列的前 n 项和;等比数列的通项公式.

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专题: 计算题;等差数列与等比数列. 分析: 由 ,结合等差数列的求和公式可求 a2 ,然后由 公差 d,即可求解通项公式 解答: 解:设数列的公差为 d 由 得,3

,结合等差数列的求和公式进而可求

∴ a2 =0 或 a2 =3 由题意可得, ∴ 若 a2 =0,则可得 d =﹣2d 即 d=0 不符合题意 若 a2 =3,则可得(6﹣d)2 =(3﹣d) (12+2d) 解可得 d=0 或 d=2 ∴ an =3 或 an =2n﹣1 点评: 本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式的应用,等比数列的性质的简单应用,属于基础试题 18. (12 分)设△ ABC 的内角 A, B,C 的内角对边分别为 a,b,c ,满足(a+b+c ) (a﹣b+c )=ac . (Ⅰ )求 B. (Ⅱ )若 sinAsinC= ,求 C.
2 2

考点: 余弦定理;两角和与差的正弦函数. 专题: 解三角形.

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分析: (I)已知等式左边利用多项式乘多项式法则计算,整理后得到关系式,利用余弦定理表示出 cosB,将关系 式代入求出 cosB 的值,由 B 为三角形的内角,利用特殊角的三角函数值即可求出 B 的度数; (II)由(I)得到 A+C 的度数,利用两角和与差的余弦函数公式化简 cos (A﹣C) ,变形后将 cos (A+C) 及 2sinAsinC 的值代入求出 cos (A﹣C)的值,利用特殊角的三角函数值求出 A﹣C 的值,与 A+C 的值联 立即可求出 C 的度数. 解答: 解: (I)∵ (a+b+c ) (a﹣b+c )=(a+c )2 ﹣b2 =ac ,
9

∴ a2 +c2 ﹣b2 =﹣ac , ∴ cosB= =﹣ ,

又 B 为三角形的内角, 则 B=120°; (II)由(I)得:A+C=60°,∵ sinAsinC= ,cos (A+C)= ,

∴ cos (A﹣C)=cosAcosC+sinAs inC=cosAcosC﹣sinAs inC+2sinAs inC=cos (A+C) +2sinAs inC= +2× = ,

∴ A﹣ C=30°或 A﹣C=﹣30°, 则 C=15°或 C=45°. 点评: 此题考查了余弦定理,两角和与差的余弦函数公式,以及特殊角的三角函数值,熟练掌握余弦定理是解本 题的关键. 19. (12 分)如图,四棱锥 P﹣ABCD 中,∠ ABC=∠ BAD=90°, BC=2AD,△ PAB 与△ PAD 都是等边三角形. (Ⅰ )证明:PB⊥ CD; (Ⅱ )求二面角 A﹣PD﹣C 的大小.

考点: 共线向量与共面向量;直线与平面垂直的性质.

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专题: 计算题;空间角. 分析: (I)取 BC 的中点 E,连接 DE,过点 P 作 PO⊥ 平面 ABCD 于 O,连接 OA、OB、OD、OE.可证出四边形 ABED 是正方形, 且 O 为正方形 ABED 的中心. 因此 OE⊥ OB, 结合三垂线定理, 证出 OE⊥ PB, 而 OE 是△BCD 的中位线,可得 OE∥ CD,因此 PB⊥ CD; (II)由(I)的结论,证出 CD⊥ 平面 PBD,从而得到 CD⊥ PD.取 PD 的中点 F,PC 的中点 G,连接 FG, 可得 FG∥ CD,所以 FG⊥ PD.连接 AF,可得 AF⊥ PD,因此∠ AFG 为二面角 A﹣PD﹣C 的平面角,连接 AG、 EG,则 EG∥ PB,可得 EG⊥ OE.设 AB=2,可求出 AE、 EG、 AG、 AF 和 FG 的长,最后在△ AFG 中利用余 弦定理,算出∠ AFG=π﹣arccos ,即得二面角 A﹣PD﹣C 的平面角大小.

解答: 解: (I)取 BC 的中点 E,连接 DE,可得四边形 ABED 是正方形 过点 P 作 PO⊥ 平面 ABCD,垂足为 O,连接 OA、OB、OD、OE ∵ △ PAB 与△ PAD 都是等边三角形,∴ PA=PB=PD,可得 OA=OB=OD 因此,O 是正方形 ABED 的对角线的交点,可得 OE⊥ OB ∵ PO⊥ 平面 ABCD,得直线 OB 是直线 PB 在内的射影,∴ OE⊥ PB ∵ △ BCD 中,E、O 分别为 BC、 BD 的中点,∴ OE∥ CD,可得 PB⊥ CD; (II)由(I)知 CD⊥ PO,CD⊥ PB ∵ PO、PB 是平面 PBD 内的相交直线,∴ CD⊥ 平面 PBD ∵ PD?平面 PBD,∴ CD⊥ PD 取 PD 的中点 F,PC 的中点 G,连接 FG, 则 FG 为△ PCD 有中位线,∴ FG∥ CD,可得 FG⊥ PD 连接 AF,由△ PAD 是等边三角形可得 AF⊥ PD,∴ ∠ AFG 为二面角 A﹣PD﹣C 的平面角 连接 AG、EG,则 EG∥ PB
10

∵ PB⊥ OE,∴ EG⊥ OE, 设 AB=2,则 AE=2 ,EG= PB=1,故 AG= ,AF= =﹣ ,AG=3 , =3

在△ AFG 中,FG= CD= ∴ cos ∠ AFG=

,得∠ AFG=π﹣arccos .

即二面角 A﹣PD﹣C 的平面角大小是 π﹣arccos

点评: 本题给出特殊的四棱锥,求证直线与直线垂直并求二面角平面角的大小,着重考查了线面垂直的判定与性 质、三垂线定理和运用余弦定理求二面的大小等知识,属于中档题. 20. (12 分)甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛,其中两人比赛,另一人当裁判,每局比赛结束时,负的一方在下 一局当裁判,设各局中双方获胜的概率均为 ,各局比赛的结果都相互独立,第 1 局甲当裁判. (Ⅰ )求第 4 局甲当裁判的概率; (Ⅱ )X 表示前 4 局中乙当裁判的次数,求 X 的数学期望. 考点: 离散型随机变量的期望与方差;古典概型及其概率计算公式. 专题: 概率与统计. 分析: (I)令 A1 表示第 2 局结果为甲获胜,A2 表示第 3 局甲参加比赛时,结果为甲负,A 表示第 4 局甲当裁判, 分析其可能情况,每局比赛的结果相互独立且互斥,利用独立事件、互斥事件的概率求解即可. (II)X 的所有可能值为 0,1,2.分别求出 X 取每一个值的概率,列出分布列后求出期望值即可. 解答: 解: (I)令 A1 表示第 2 局结果为甲获胜.A2 表示第 3 局甲参加比赛时,结果为甲负.A 表示第 4 局甲当裁 判. 则 A=A1 ?A2 ,P(A)=P( A1 ? A2 )=P(A1 )P(A2 )= ; (Ⅱ )X 的所有可能值为 0,1,2.令 A3 表示第 3 局乙和丙比赛时,结果为乙胜. B1 表示第 1 局结果为乙获胜,B2 表示第 2 局乙和甲比赛时,结果为乙胜,B3 表示第 3 局乙参加比赛时,结 果为乙负, 则 P(X=0)=P(B1 B2 B3 )=P(B1 )P( B2 )P( P(X=2)=P( B3 )=P( )P(B3 )= . )= .

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P(X=1)=1﹣P(X=0)﹣P(X=2)= . 从而 EX=0× +1× +2× = . 点评: 本题考查互斥、独立事件的概率,离散型随机变量的分布列和期望等知识,同时考查利用概率知识解决问 题的能力.

11

21. (12 分)已知双曲线 C: 的两个交点间的距离为 (I)求 a,b; .

=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为 F1 ,F2 ,离心率为 3,直线 y=2 与 C

(II)设过 F2 的直线 l 与 C 的左、右两支分别相交于 A、B 两点,且|AF1 |=|BF1 |,证明:|AF2 |、|AB|、|BF2 |成等比 数列. 考点: 直线与圆锥曲线的关系;椭圆的简单性质. 专题: 证明题;综合题;压轴题;转化思想;圆锥曲线的定义、性质与方程.
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分析: (I)由题设,可由离心率为 3 得到参数 a,b 的关系,将双曲线的方程用参数 a 表示出来,再由直线 建立方程求出参数 a 即可得到双曲线的方程; (II)由(I)的方程求出两焦点坐标,设出直线 l 的方程设 A(x1 ,y1 ) ,B(x2 ,y2 ) ,将其与双曲线 C 的 方程联立,得出 x1 +x2 = 横坐标的关系 , ,再利用|AF1 |=|BF1 |建立关于 A,B 坐标的方程,得出两点

,由此方程求出 k 的值,得出直线的方程,从而可求得:|AF2 |、|AB|、|BF2 |,再

利用等差数列的性质进行判断即可证明出结论. 解答: 解: (I)由题设知 =3,即 所以 C 的方程为 8x ﹣y =8a
2 2 2

=9,故 b =8a

2

2

将 y=2 代入上式,并求得 x=± 由题设知,2 = ,解得 a2 =1



所以 a=1,b=2 (II)由(I)知,F1 (﹣3,0) ,F2 (3,0) ,C 的方程为 8x2 ﹣y2 =8 由题意,可设 l 的方程为 y=k(x﹣3) ,|k|<2 设 A(x1 ,y1 ) ,B(x2 ,y2 ) , 则 x1 ≤﹣1,x2 ≥1,x1+x2 = ,
2



代入① 并化简得(k ﹣8)x2 ﹣6k2 x+9k2 +8=0

,于是

|AF1 |= |BF1 |= |AF1 |=|BF1 |得﹣(3x1 +1)=3x2 +1,即

=﹣(3x1 +1) , =3x2 +1,



=

,解得

,从而

=﹣

由于|AF2 |= |BF2 |=

=1﹣3x1 , =3x2 ﹣1,

故|AB|=|AF2 |﹣|BF2 |=2﹣3(x1 +x2 )=4,|AF2 ||BF2 |=3(x1 +x2 )﹣9x1 x2 ﹣1=16 因而|AF2 ||BF2 |=|AB|2 ,所以|AF2 |、|AB|、|BF2 |成等比数列
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点评: 本题考查直线与圆锥曲线的综合关系,考查了运算能力,题设条件的转化能力,方程的思想运用,此类题 综合性强,但解答过程有其固有规律,一般需要把直线与曲线联立利用根系关系,解答中要注意提炼此类 题解答过程中的共性,给以后解答此类题提供借鉴.

22. (12 分)已知函数 (I)若 x≥0 时,f(x)≤0,求 λ 的最小值; (II)设数列{an}的通项 an =1+





考点: 数列与不等式的综合;利用导数求闭区间上函数的最值;数列的求和.

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专题: 压轴题;转化思想;导数的综合应用;等差数列与等比数列. 分析: (I)由于已知函数的最大值是 0,故可先求出函数的导数,研究其单调性,确定出函数的最大值,利用最 大值小于等于 0 求出参数 λ 的取值范围,即可求得其最小值; (II)根据(I)的证明,可取 λ= ,由于 x>0 时,f(x)<0 得出 若取 x= ,则可得出 解答: 解: (I)由已知,f(0)=0,f′ (x)= ,且 f′ (0)=0…3 分 ,以此为依据,利用放缩法,即可得到结论 ,考察发现,

若 λ< ,则当 0<x<2(1﹣2λ)时,f′ (x)>0,所以当 0<x<2(1﹣2λ)时,f(x)>0, 若 λ≥ ,则当 x>0 时,f′ (x)<0,所以当 x>0 时,f(x)<0 综上,λ 的最小值为 …6 分 ( II)令 λ= ,由(I)知,当 x>0 时,f(x)<0,即 取 x= ,则 于是 a2n ﹣an + = = = + +… + + …9 分

=

=



=ln2n﹣ lnn=ln2

所以

…12 分

点评: 本题考查了数列中证明不等式的方法及导数求最值的普通方法,解题的关键是充分利用已有的结论再结合 放缩法,本题考查了推理判断的能力及转化化归的思想,有一定的难度

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