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2012-2013上学期厦门双十中学高二数学期中考试卷(理)


双十中学 2012-2013 学年第一学期半期考试
高二理科数学试卷

一、 选择题: (本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,请将答案填入答题卡相应位置) 1. 若 a ? b 且 c ? R ,则下列不等式中一定成立的是( ) A. a ? b
2 2

B. ac ? bc

C. ac ? bc
2

2

D. a ? c ? b ? c

2. 已知数列 1, 3, 5 ? 2n ? 1,? , 则 21 是这个数列的( ) A.第 10 项 B.第 11 项 C.第 12 项 D.第 21 项

x ? ? ? ?1? ? 2 3. 已知全集 U ? R ,集合 M ? ? x ? ? ? 2? , N ? ? x x ? x ? 2 ? 0? ,则 M ? ? CU N ? 等于( ) ? ? ? ?2? ?

A. x x ? 2

?

?

B. x x ? ?1

?

?

C.

? x ?1 ? x ? 2?

D. x x ? ?1或x ? 2

?

?

x2 y 2 ? 4. 过椭圆 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 的左焦点 F1 作 x 轴的垂线交椭圆于点 P , F2 为右焦点,若 ?F1 PF2 ? 60 ,则椭 a b
圆的离心率为( ) A.

2 2

B.

3 3

C.

1 2

D.

1 3

a b 5. 若 2 2 是 2 和 2 的等比中项,则 ab 的最大值为( )

A.3

B.8

C.

3 2

D.

9 4

6. 椭圆

x2 y 2 ? ? 1 上的点到直线 x ? 2 y ? 2 ? 0 的最大距离是( ) 162 42
B. 11 C. 3 D. 2 2

A. 10

2 7. 设关于 x 的不等式: x ? ax ? 2 ? 0 的解集为 M ,若 2 ? M , 3 ? M ,则实数 a 的取值范围是( )

A. ? ??,

? ? ?

3? ? ? ?1, ?? ? 3 ? ?

B. ? ??,

? ? ?

3? ? 3 ? ?

C.

? 3 ? ,1 ? ? ? 3 ? ?

D. ? ?

? 3 ? ,1? 3 ? ?
n

8. 小明在玩投石子游戏,第一次走 1 米放 2 颗石子,第二次走 2 米放 4 颗石子, ? ,第 n 次走 n 米放 2 颗石子, 当小明一共走了 36 米时,他投放石子的总数是( A.36 B.254 C. 510 ) D. 512

? x ? y ?1 ? 0 ? 9. 已知不等式组 ? x ? y ? 1 ? 0 表示的平面区域为 D ,若直线 y ? kx ? 1 将区域 D 分为面积相等的两部分,则实数 ?3 x ? y ? 3 ? 0 ?
k 的值是 ( ) A.

1 5

B.

1 4

C.

1 3

D.

1 2

y

10. 椭圆有这样的光学性质:从椭圆的一个焦点出发的光线,经椭圆反射后,反射 光线经过椭圆的另一个焦点,今有一个水平放置的椭圆形台球盘,点 A, B 是 它的焦点,长轴长为 2a ,焦距为 2c ,静放在点 A 的小球(小球的半径不计) , 从点 A 沿直线出发,经椭圆避反弹后第一次回到点 A 时,小球经过的路程是 ( ) A . 4a B. 2 ? a ? c ? C. 2 ? a ? c ? D.以上答案均有可能
A B x

二、 填空题(本大题共 6 小题,每小题 4 分,共 24 分,请将答案填入答题卡相应位置) 。 11.椭圆 x ? 4 y ? 1 的焦点半径坐标为
2 2



12. 已知椭圆
2

x2 y 2 ? ? 1 ,以及椭圆内的一点 P ? 4, 2 ? ,则以 P 为中点的弦所在直线的斜率是 36 9




13. 若方程 x ? mx ? 2m ? 0 有两个大于 2 的根,则 m 的范围是 14. 在下列四个命题中:

9 的最小值为 6; x a b ③若 a ? b ? ?1 ,则 ; ? 1? a 1? b
①函数 f ? x ? ? x ? 正确命题的序号是 15. 设实数 x, y 满足

②不等式

2x ? 1 的解集是 ? x ?1 ? x ? 1? ; x ?1

④若 a ? 2, b ? 1 ,则 a ? b ? 1 。

。 (注:把你认为正确的命题的序号都填上) 。
*

x2 2 ? y 2 ? 1 ,则 z ? ? x ? 1? ? y 2 的最大值是 4

16. 在等比数列 ?bn ? 中,若 b9 ? 1 ,则有等式: b1 ? b2 ?bn ? b1 ? b2 ?b17 ? n (n ? 17, n ? N ) 成立; 类比上述性质,相应地: 在等差数列 ?an ? 中,若 a6 ? 0 ,则有等式 成立。

三、 解答题: (本大题共 6 小题,每小题 4 分,共 24 分,请将答案填入答题卡相应位置)

17. (本小题满分 12 分) 已知等差数列 ?an ? 的公差 d ? 0 ,其前 n 项和为 S n ,若 S3 ? 12 ,且 2a1 , a2 ,1 ? a3 成等比数列。 (I) 求 ?an ? 的通项公式; (II)记 bn ?

1 (n ? N * ) ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn 。 an an ?1

18. (本小题满分 12 分) 设 F1 , F2 分别为椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? 的左右焦点。 a 2 b2
? 3? ? 到 F1 , F2 两点的距离之和等于 4,写出椭圆 C 的方程和焦点坐标。 ? 2?

(I)若椭圆 C 上的点 A ? 1,

(II)设点 K 是(I)中所得椭圆上的动点,求线段 F1 K 的中点的轨迹方程。

19. (本小题满分 12 分)

设函数 f ? x ? ? kx ? kx ? 6 ? k ,
2

(I)当 k ? 1 时,解关于 x 的不等式 kx ? kx ? 6 ? k ? 0 ;
2

(II)若对于 x ? ?1, 2? , f ? x ? ? 0 恒成立,求实数 k 的取值范围。

20. (本小题满分 12 分) 现在“汽车”是一个很“给力”的名词。某品牌汽车厂商对维 修费进行电脑模拟实验,分别以汽车使用年数 n 与累计维修费

累计维修费 Sn 6

S n (万元)为横、纵坐标绘制成点,发现 ? n, Sn ? 在函数 y ? ax ? bx(a ? 0) 图像上(如图所示) ,其中
2

B

4

2

A
使用年数 n

A(5,1.05)、B(10, 4.1) 。
o
5 10

15

(I)求出累计维修费 S n 关于使用年数 n 的表达式; (II)汽车开始连续使用后每年均需维修,按国家质量标准规定,出售后前两年作为保修时间,在保修期间的维 修费用由汽车厂商承担,保修期过后,汽车维修费用由车主承担。若某人以 9.18 万元的价格购买这款品牌车,求年 平均耗资费的最小值( 年平均耗资费=

总耗资费 ,总耗资费=车价+车主承担的维修费) 。 使用年数

21. (本小题满分 12 分)

如图, 已知椭圆 E: 2 ?

x2 a

y2 长轴长是短轴长的两 ? 1? a ? b ? 0 ?, b2

y C(2,1) o

倍,且 E 过点 C ? 2,1? ,点 C 关于原点 O 的对称点为 D 。 (I)求椭圆 E 的方程; (II) 点 P 在椭圆 E 上, 直线 CP和DP的斜率存在且不为0, 试 问直线 CP和DP的斜率 之积是否为定值, 若是, 求此定值, 若不是, 请说明理由;

x

(III)平行于 CD的直线 l 交椭圆 E 于 M,N 两点,求 ?CMN 面积的最大值,并求此时直线 l 的方程。

22. (本小题满分 14 分)

已知数列 ?bn ? 中, b1 ? (I)求 a1 , a2 , a3 ;

1 11 (n ? N * ) , , bn ?1bn ? bn ? 2 ,数列 ?an ? 满足 an ? bn ? 2 7

(II)求数列 ?an ? 的通项公式; (III)求证: ( ?1)b1 ? ( ?1) b2 ? ? ? ( ?1) bn ? 1 n ? N
2 n

?

*

?。


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