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B.深圳市2013年高三年级第一次调研考试参考答案与评分标准(理科数学)


2013 年深圳市高三年级第一次调研考试 数学(理科)答案及评分标准
一、选择题:本大题每小题 5 分,满分 40 分. 1 2 3 4 5 C C C D A 二、填空题:本大题每小题 5 分,满分 30 分. 9. 80 ; 10. 10 ; 11. 三、解答题 16.解: (1)? 0 ? x ? 5 , ? 6 B 7 B 8 D 15. 1 .

8 12 4 ; 12. ;13. 0 ? a ? ; 14. (2,5) ; 27 13 3

?
3

?

πx π 7π ? ? , 6 3 6

…………………………………1 分

1 πx π ? ? ? sin( ? ) ? 1 . ……………………………………………………………2 分 2 6 3 πx π π πx π ? ? ,即 x ? 1 时, sin( ? ) ? 1 , f (x) 取得最大值 2 ; 当 6 3 2 6 3 πx π 7π πx π 1 ? ? ? ) ? ? , f (x) 取得最小值 ?1 . 当 ,即 x ? 5 时, sin( 6 3 6 6 3 2 因此,点 A 、 B 的坐标分别是 A(1, 2) 、 B(5, ? 1) . ………………………………4 分 ??? ??? ? ? ?OA ? OB ? 1? 5 ? 2 ? (?1) ? 3 . ……………………………………………………6 分 (2)? 点 A(1, 2) 、 B(5, ? 1) 分别在角 ? 、 ? 的终边上, 1 ? tan ? ? 2 , tan ? ? ? , …………………………………………8 分 5 1 5 2 ? (? ) 2 ? (? ) 5 5 ? ? ,…………10 分? tan(? ? 2? ) ? 12 ? 29 .………12 分 ? tan 2? ? 1 5 12 1 ? (? )2 1 ? 2 ? (? ) 2 5 12 【说明】 本小题主要考查了三角函数 f ( x) ? A sin(?x ? ? ) 的图象与性质,三角恒等变换,以及平面
向量的数量积等基础知识,考查了简单的数学运算能力. 17.解: (1)散点图如右图所示.…………1 分

x=

89 ? 91 ? 93 ? 95 ? 97 = 93 , 5 87 ? 89 ? 89 ? 92 ? 93 = 90 , y= 5
5 i ?1 i

y(物理成绩)

94 92 90

? (x
5

? x ) 2 ? (?4) 2 ? (?2) 2 ? 0 2

?

?

? ? 88 ( xi ? x )( yi ? y ) ? (?4) ? (?3) ? (?2) ? (?1) ? 0 ? (?1) ? 2 ? 2 ? 4 ? 3 ? 30 ? ? i ?1

30 b? ? 0.75 , bx ? 69.75 , a ? y ? bx ? 20.25 . 40
………………………5 分 ? 故这些数据的回归方程是: y ? 0.75 x ? 20.25 . (2)随机变量 X 的可能取值为 0 , 1 , 2 .
2 2 2 4 1 2 1 2
O

? 2 2 ? 4 2 ? 40,

89

91

93

95

97

x(数学成绩)

图4

………………………6 分 ……………………………………7 分

C CC C2 1 1 2 P(X ? 0 ) = ? ; P(X ? 1)= 2 ? ; P(X ? 2)= 2 ? . …………10 分 2 C 6 C4 3 C4 6
第 1 页 共 6 页

故 X 的分布列为:

X
p

0 1 6

1 2 3

2 1 6

……………11 分

1 2 1 ? E (X ) = 0 ? + 1? + 2 ? = 1 . …………………………………………………12 分 6 6 3
【说明】本题主要考察读图表、线性回归方程、概率、随机变量分布列以及数学期望等基础知识,考 查运用概率统计知识解决简单实际问题的能力,数据处理能力. 18. (法一) :证明: (1)如右图,连接 CO ,

? ?CAB ? 45? ,? CO ? AB , C ? ? 的中点,? ?FOB ? 45? , 又? F 为 BC ?F ? OF // AC . ? OF ? 平面 ACD , AC ? 平面 ACD , A B ? ? OF // 平面 ACD .……………………3 分 O E 解: (2)过 O 作 OE ? AD 于 E ,连 CE . ? D G ? CO ? AB ,平面 ABC ⊥平面 ABD . ? CO ⊥平面 ABD . 又? AD ? 平面 ABD , ? CO ? AD , ? AD ? 平面 CEO , AD ? CE , 则∠ CEO 是二面角 C - AD - B 的平面角. ………………………………5 分 ? ? ?OAD ? 60 , OA ? 2 , ?OE ? 3 . 由 CO ⊥平面 ABD , OE ? 平面 ABD ,得 ?CEO 为直角三角形, ? CO ? 2 ,? CE ? 7 .

? cos ?CEO =

21 3 = . …………………………………………………………8 分 7 7

? (3)设在 BD 上存在点 G ,使得 FG //平面 ACD , ? OF // 平面 ACD , ? 平面 OFG // 平面 ACD ,
? OG // AD , ?BOG=?BAD=60? . ? ? 因此,在 BD 上存在点 G ,使得 FG //平面 ACD ,且点 G 为 BD 的中点.……10 分
连 AG ,设 AG 与平面 ACD 所成角为 ? ,点 G 到平面 ACD 的距离为 h .

1 1 1 ? S ?ACD = ? AD ? CE = ? 2 ? 7 = 7 , S ?GAD ? S ?OAD = ? 2 ? 3 = 3 , 2 2 2 1 1 2 21 . …………12 分 ? 由 VG- ACD = VC - AGD ,得 ? 7 ? h = ? 3 ? 2 ,得 h ? 3 3 7 ? 在 ?AOG 中, AO ? OG ? 2 , ?AOG ? 120 ,由余弦定理得 AG = 2 3 ,…13 分 h 7 ? sin? ? = . …………………………………………………14 分 AG 7 z 为 y 轴,以 (法二) :证明: (1)如图,以 AB 所在的直线 OC 所在的直线为 z 轴,以 O 为原点,作空间直角 坐 标 系 C ? O ? xyz ,则 A? 0, ?2,0? , C ?0,0,2? . ?F

? 0,

AC ? (0,0,2) ? (0,?2,0) ? (0,2,2) , ? ? 点 F 为 BC 的 中 点 , ? 点 F 的 坐 标 为
2, 2 , OF ? (0, 2, 2 ) .

A

O? G

B y

?

?
第 2 页 共 6 页

D

x

??? ? 2 ???? ? OF ? AC ,即 OF //AC . 2 ? OF ? 平面 ACD , AC ? 平面 ACD , …………………………………………………………3 分 ? OF // 平面 ACD . ???? ? 解: (2)? ?DAB ? 60 ,? 点 D 的坐标 D 3, ?1,0 , AD ? ( 3,1,0) . ?? 设二面角 C - AD - B 的大小为 ? , n1 ? ? x, y, z ? 为平面 ACD 的一个法向量. ?? ???? ?? x, y, z ? ? ? 0, 2, 2 ? ? 0, ? n1 ? AC ? 0, ?2 y ? 2 z ? 0, ? ? ? 由 ? ?? ???? 有? 即? ? 3 x ? y ? 0. ? n1 ? AD ? 0, ? ?? x, y, z ? ? 3,1, 0 ? 0, ? ? 取 x ? 1 ,解得 y ? ? 3 , z ? 3 . ?? ……………………………………………5 分 ?n1 = 1,- 3, 3 . ?? ? 取平面 ADB 的一个法向量 n2 = ?0,0, ? , ………………………………………6 分 1 ?? ?? ? 1? 0 ? (? 3) ? 0 ? 3 ?1 n1 ? n2 21 ? .………………………8 分 ? cos ? ? ?? ?? ? ? 7 | n1 | ? | n2 | 7 ?1 ? (3)设在 BD 上存在点 G ,使得 FG //平面 ACD , ? OF // 平面 ACD , ? 平面 OFG // 平面 ACD ,则有 OG // AD . ?????? ???? ??? ? ???? 设 OG ? ? AD(? ? 0) ,? AD ? ( 3,1,0) ,? OG ? 3? ,? , 0 . ???? 2 2 2 又? OG ? 2 ,? ( 3? ) ? ? ? 0 ? 2 ,解得 ? ? ?1 (舍去 ?1 ) . ???? ? ? OG ? 3 ,1,0 ,则 G 为 BD 的中点.

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

???? ? AG ? ( 3,1,0) ? (0, ?2,0) ? ( 3,3,0) , ?? 根据(2)的计算 n1 ? 1,- 3 , 3 为平面 ACD 的一个法向量, ???? ?? 3 ?1 ? 3 ? (? 3) ? 0 ? 3 AG ? n1 7 . ? sin? ? cos(90? ? ? ) ? ???? ?? ? ? 7 | AG | ? | n1 | 2 3? 7

? ? 因此,在 BD 上存在点 G ,使得 FG //平面 ACD ,且点 G 为 BD 的中点.……11 分 设直线 AG 与平面 ACD 所成角为 ? ,

?

?

因此,直线 AG 与平面 ACD 所成角的正弦值为

7 . ……………………………14 分 7

【说明】本题主要考察空间点、线、面位置关系,线面角、二面角及三角函数等基础知识,考查空间想 象能力、运算能力和推理论证能力,考查用向量方法解决数学问题的能力. 19.解: (1)由 an ? 2 ? p ? 令 cn ?
2 a a an ?1 ,得 n? 2 ? p ? n ?1 . an?1 an an

……………………………1 分

an ?1 ,则 c1 ? a , cn?1 ? pcn . an c , ? a ? 0 ,?c1 ? 0 , n ?1 ? p (非零常数) cn a ……………………………………………………3 分 ? 数列 { n ?1 } 是等比数列. an (2)? 数列 {cn } 是首项为 a ,公比为 p 的等比数列,

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? cn ? c1 ? pn?1 ? a ? pn?1 ,即

an ?1 ? ap n ?1 . an

……………………………4 分
n 2 ?3 n ? 2 2

a a a 当 n ? 2 时, an ? n ? n?1 ?? ? 2 ? a1 ? (ap n?2 ) ? (ap n?3 ) ??? (ap 0 ) ?1 ? a n?1 p an?1 an?2 a1
n ?1 n2 ?3n? 2 2

,……6 分

…………………………7 分 ? a1 满足上式, ? an ? a p , n ? N* . a a a n n ?1 2 2 n ?1 (3)? n? 2 ? n? 2 ? n?1 ? (ap ) ? (ap ) ? a p , an an?1 an na …………………………………………8 分 ? 当 a ? 1 时, bn ? n? 2 ? np 2 n?1 . pan

? Sn ? 1? p1 ? 2 ? p3 ? ?? n ? p2n?1 ,



p Sn ?
2
2

1? p ? ?? (n ?1) ? p
3
2 n ?1

2 n?1

? n? p

2 n?1



? 当 p2 ? 1 ,即 p ? ?1时,① ? ②得:
(1 ? p ) Sn ? p ? p ? ? ? p
1 3

? np

2 n ?1

p(1 ? p 2 n ) ? ? np 2 n?1 , 2 1? p
…………………………11 分 …………………………12 分

p(1 ? p 2 n ) np 2 n?1 ? , p ? ?1 . (1 ? p 2 )2 1 ? p 2 n(n ? 1) 而当 p ? 1 时, S n ? 1 ? 2 ? ? ? n ? , 2
即 Sn ? 当 p ? ?1 时, S n ? (?1) ? (?2) ? ? ? (? n) ? ?

n(n ? 1) .………………………13 分 2

? n(n ? 1) , p ? 1, ? 2 ? ? n(n ? 1) 综上所述, S n ? ?? , p ? ?1, 2 ? ? p(1 ? p 2 n ) np 2 n ?1 ? , p ? ?1. ? 2 2 1 ? p2 ? (1 ? p )

……………………………14 分

【说明】考查了等比数列的通项公式、等比数列求和公式、简单递推数列求通项、错位求和等知识,考 查了学生的运算能力,以及化归与转化、分类讨论的思想. 20.解: (1)依题意,设椭圆 C 的方程为

x2 y 2 ? ? 1. a 2 b2

? PF1 、 1F 2 、 2 构成等差数列, F PF ? 2a ? PF1 ? PF 2 ? 2 F1F2 ? 4 , a ? 2 .
又? c ? 1 ,? b ? 3 . C 椭 圆 ?
2









x y ? ? 1 . ……………………………………………………4 分 4 3 2 2 (2) 将直线 l 的方程 y ? kx ? m 代入椭圆 C 的方程 3x ? 4 y ? 12
中,得 (4k ? 3) x ? 8kmx? 4m ? 12 ? 0 .
2 2 2

2

2

y l H M N O F2

………5 分

由 直 线 l 与 椭 圆 C 仅 有 一 个 公 共 点 知 ,
2 ? ? k 2 m2 ? 4 (k 4 ? 3 m2 ( ? , ?1 2 ) 0 6 4 ) 4 2 2 化简得: m ? 4k ? 3 . …………7 分

F1

x

第 4 页 共 6 页

k 2 ?1 (法一)当 k ? 0 时,设直线 l 的倾斜角为 ? , 则 d1 ? d2 ? MN ? tan ? ,
? MN ? d1 ? d 2 , k

设 d1 ? F1M ?

?k ? m k 2 ?1

, d2 ? F2 M ?

k ?m



…………………………9 分

2m 2m 8 d12 ? d 2 2 1 d1 ? d2 ,………11 分 ? 2 ? S? (d1 ? d 2 ) ? ? 2 1 2 k 2k k ?1 m ? 3 ?1 m ? m 4 1 1 4 ? 3? ? 3 ,S ? 2 3. ? m2 ? 4k 2 ? 3 ,? 当 k ? 0 时, m ? 3 , m ? m 3 3
当 k ? 0 时,四边形 F1MNF2 是矩形, S ? 2 3 . 所以四边形 F1MNF2 面积 S 的最大值为 2 3 .
2 1 2

……………………………13 分 ………………………………14 分

2(m2 ? k 2 ) 2(5k 2 ? 3) (法二)? d ? d2 ? ( , ) ?( ) ? ? k 2 ?1 k 2 ?1 k 2 ?1 k 2 ?1 m 2 ? k 2 3k 2 ? 3 ?k ? m k ? m d1d 2 ? ? ? 2 ? 2 ? 3. k ?1 k ?1 k 2 ?1 k 2 ?1 2 ? MN ? F1 F2 2 ? (d1 ? d 2 ) 2 ? 4 ? (d12 ? d 2 2 ? 2d1d 2 ) ? . k 2 ?1 1 1 四边形 F1MNF2 的面积 S ? MN (d1 ? d 2 ) ? (d1 ? d 2 ) , …………11 分 2 k 2 ?1
2 2

?k ? m

k ?m

1 16k 2 ? 12 2 2 S ? 2 (d1 ? d 2 ? 2d1d 2 ) ? 2 k ?1 (k ? 1) 2 1 ? 16 ? 4( 2 ? 2) 2 ? 12 . ………………………………………………13 分 k ?1 当且仅当 k ? 0 时, S 2 ? 12, S ? 2 3 ,故 Smax ? 2 3 .
2

所以四边形 F1MNF2 的面积 S 的最大值为 2 3 .

…………………………14 分

【说明】本题主要考查椭圆的方程与性质、直线方程、直线与椭圆的位置关系等基础知 识,考查学生运算能力、推理论证以及分析问题、解决问题的能力,考查分类讨论、数形结合、化归与转 化思想. 21 . 解 :( 1 ) 设 点 ( x0 , y0 ) 为 直 线 y ? 2 x ? 2 与 曲 线 y ? g (x) 的 切 点 , 则 有 (*) 2 ln x0 ? bx0 ? 2x0 ? 2 . 2 2 ? g ?( x) ? ? b ,? ? b ? 2 . (**) x x0 由(*)(**)两式,解得 b ? 0 , g ( x) ? 2 ln x . 、 ……………………………2 分 a 由 f ( x) ? g ( x) 整理,得 ? x ? 2 ln x , x ? x ? 1 ,? 要使不等式 f ( x) ? g ( x) 恒成立,必须 a ? x 2 ? 2 x ln x 恒成立. 1 2 设 h( x) ? x ? 2 x ln x , h ?( x) ? 2 x ? 2(ln x ? x ? ) ? 2 x ? 2 ln x ? 2 , x 2 ? h ??( x ) ? 2 ? ,? 当 x ? 1 时, h??( x) ? 0 ,则 h ?(x) 是增函数, x ? h?( x) ? h?(1) ? 0 , h(x) 是增函数, h( x) ? h(1) ? 1, a ? 1 .…………………5 分
第 5 页 共 6 页

因此,实数 a 的取值范围是 0 ? a ? 1 .

………………………………………6 分

1 (2)当 a ? 1 时, f ( x) ? x ? , x 1 8 ? f ?( x) ? 1 ? 2 ? 0 ,? f (x) 在 [e,3] 上是增函数, f (x) 在 [e,3] 上的最大值为 f (3) ? . 3 x 要对 [e,3] 内的任意 k 个实数 x1 , x2 ,?, xk 都有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ? ? f ( xk ?1 ) ? 16g ( xk )
成立,必须使得不等式左边的最大值小于或等于右边的最小值, ? 当 x1 ? x2 ? ? ? xk ?1 ? 3 时不等式左边取得最大值, xk ? e 时不等式右边取得最小值.

8 ? 16 ? 2 ,解得 k ? 13 . 3 因此, k 的最大值为 13 . ………………………………………10 分 a ? 1 时,根据(1)的推导有, x ? (1,??) 时, f ( x) ? g ( x) , (3)证明(法一) :当 1 1 即 ln x ? ( x ? ) . ………………………………………………………11 分 2 x 2k ? 1 2k ? 1 1 2k ? 1 2k ? 1 ? ( ? ), 令x ? ,得 ln 2k ? 1 2k ? 1 2 2k ? 1 2k ? 1 4k 化简得 ln( 2k ? 1) ? ln( 2k ? 1) ? , ………………………………13 分 4k 2 ? 1 n n 4i . ………………………14 分 ln(2n ? 1) ? ?[ln(2i ? 1) ? ln(2i ? 1)] ? ? 2 i ?1 i ?1 4i ? 1 4 (法二)数学归纳法:当 n ? 1 时,左边= ,右边= ln 3 , 3 1 根据(1)的推导有, x ? (1,??) 时, f ( x) ? g ( x) ,即 x ? ? 2 ln x . x 1 4 令 x ? 3 ,得 3 ? ? 2 ln 3 ,即 ? ln 3 . 3 3 n ? 1 时不等式成立. 因此, ………………………………11 分 5 5 4 625 4 4 ? 27 ,? 4 ? ln 27 ,即 ? ln 3 . (另解:? e ? ,? e ? ( ) ? ) 2 2 16 3 k 4i 假设当 n ? k 时不等式成立,即 ? 2 ? ln(2k ? 1) , i ?1 4i ? 1 k ?1 k 4i 4i 4(k ? 1) 4(k ? 1) 则当 n ? k ? 1 时, ? 2 , ?? 2 ? ? ln(2k ? 1) ? 2 4(k ? 1) ? 1 4(k ? 1) 2 ? 1 i ?1 4i ? 1 i ?1 4i ? 1 4(k ? 1) 要证 n ? k ? 1 时命题成立,即证 ln(2k ? 1) ? ? ln(2k ? 3) , 4(k ? 1) 2 ? 1 4(k ? 1) 2k ? 3 即证 . ? ln 2 2k ? 1 4(k ? 1) ? 1 1 2k ? 3 在不等式 x ? ? 2 ln x 中,令 x ? ,得 x 2k ? 1 2 k ? 3 1 2 k ? 3 2k ? 1 4(k ? 1) ln ? ( ? )? . 2k ? 1 2 2k ? 1 2k ? 3 4(k ? 1) 2 ? 1 ? n ? k ? 1 时命题也成立. ………………………………………13 分 n 4i 根据数学归纳法,可得不等式 ? 2 ? ln(2n ? 1) 对一切 n ? N * 成立. …14 分 4i ? 1 i ?1 ? (k ? 1) ?
【说明】本题主要考查函数的性质、导数运算法则、导数的几何意义及其应用、不等式的求解与证明、 数学归纳法等综合知识,考查学生的计算推理能力及分析问题、解决问题的能力及创新意识.
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