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2017_2018学年高中数学第一章坐标系1.3曲线的极坐标方程学案新人教B版选修


1.3 曲线的极坐标方程 [对应学生用书 P8] [读教材·填要点] 1.曲线的极坐标方程 在给定的平面上的极坐标系下,有一个二元方程 F(ρ ,θ )=0.如果曲线 C 是由极坐标 (ρ ,θ )满足方程的所有的点组成的,则称此二元方程 F(ρ ,θ )=0 为曲线 C 的极坐标方 程. 2.直线的极坐标方程 (1)当直线 l 过极点,从极轴到 l 的角是 θ 0,则 l 的方程为 θ =θ 0. (2)当直线 l 过点 M(d,0)且垂直于极轴时,l 的方程为 ρ cos θ =d. π (3)当直线 l 过点 M(d, ),且平行于极轴时,l 的方程为 ρ sin_θ =d. 2 (4)极点到直线 l 的距离为 d,极轴到过极点的直线 l 的垂线的角度为 α ,此时直线 l 的方程为 ρ cos_(α -θ )=d. [小问题·大思维] 1.在直角坐标系中,曲线上每一点的坐标一定适合它的方程.那么,在极坐标系中, 曲线上一点的所有极坐标是否一定都适合方程? 提示:在直角坐标系内,曲线上每一点的坐标一定适合它的方程,可是在极坐标系内, 曲线上一点的所有坐标不一定都适合方程.例如,给定曲线 ρ =θ ,设点 P 的一极坐标为 ?π ,π ?,那么点 P 适合方程 ρ =θ ,从而是曲线上的一个点,但点 P 的另一个极坐标 ?4 4? ? ? ?π ,9π ?就不适合方程 ρ =θ 了.所以在极坐标系内,确定某一个点 P 是否在某一曲线 C ?4 4 ? ? ? 上,只需判断点 P 的极坐标中是否有一对坐标适合曲线 C 的方程即可. 2.在直线的极坐标方程中,ρ 的取值范围是什么? 提示:ρ 的取值范围是全体实数. [对应学生用书 P8] 1 极坐标方程与直角坐标方程的互化 [例 1] 进行直角坐标方程与极坐标方程的互化: (1)y =4x;(2)y +x -2x-1=0; (3)ρ cos 2 2 2 2 θ 1 2 =1;(4)ρ cos 2θ =4;(5)ρ = . 2 2-cos θ [思路点拨] 本题考查极坐标与直角坐标的互化公式. [精解详析] (1)将 x=ρ cos θ ,y=ρ sin θ 代入 y =4x, 得(ρ sin θ ) =4ρ cos θ . 化简,得 ρ sin θ =4cos θ . (2)将 x=ρ cos θ ,y=ρ sin θ 代入 y +x -2x-1=0, 得(ρ sin θ ) +(ρ cos θ ) -2ρ cos θ -1=0. 化简,得 ρ -2ρ cos θ -1=0. (3)∵ρ cos 2 2 2 2 2 2 2 2 2 θ =1, 2 1+cos θ ∴ρ · =1, 2 即 ρ +ρ cos θ =2 ∴ x +y +x=2. 化简,得 y =-4(x-1). (4)∵ρ cos 2θ =4, ∴ρ cos θ -ρ sin θ =4, 即 x -y =4. 1 (5)∵ρ = , 2-cos θ ∴2ρ -ρ cos θ =1. ∴2 x +y -x=1. 化简,得 3x +4y -2x-1=0. 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 直角坐标方程化为极坐标方程比较容易,只要运用公式 x=ρ cos θ 及 y=ρ sin θ 直 接代入并化简即可; 而极坐标方程化为直角坐标方程则相对困难一些, 解此类问题常通过变 2 形,构造形如 ρ cos θ ,ρ sin θ ,ρ 的形式,进行整体代换.其中方程的两边同乘以(或 同除以)ρ 及方程两边平方是常用的变形方法.但对方程进行变形时,方程必须同解,因此 应注意对变形过程的检验. 2 π? ? 1.求极坐标方程 ρ cos?θ - ?=1 所表示的直角坐标方程. 6? ? π? 3 1 ? 解:将 ρ cos?θ - ?=1 化为 ρ cos θ + ρ sin θ =1. 6? 2 2 ? 将 ρ cos θ =x,ρ sin θ =y 代入上式,得 即 3x+y-2=0. 3 y x+ =1, 2 2 求曲线的极坐标方程 [例 2] 在直角坐标系 xOy 中,以 O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.曲线 C π? ? 的极坐标方程为 ρ cos?θ - ?=1,M,N 分别为 C 与 x 轴、y 轴的交点. 3? ? (1)写出 C 的直角坐标方程,并求 M,N 的极坐标; (2)设 MN 的中点为 P,求直线 OP 的极坐标方程. [思路点拨] (1)利用两角差余弦公式展开,结合互化公式可得直角坐标方程. (2)先求出 P 点的直角坐标,再求出 OP 的极坐标方程. π? ? [精解详析] (1)由 ρ cos?θ - ?=1 3? ? 3 ?1 ? 得 ρ ? cos θ + sin θ ?=1. 2 ?2 ? 1 3 从而 C 的直角坐标方程为 x+ y=1, 2 2 即 x+ 3y=2. 当 θ =0 时,ρ =2,所以 M(2,0). π 2 3 ?2 3 π ? 当 θ = 时,ρ = ,所以 N? , ?. 2 3 2? ? 3 (2)∵M 点的直角坐标为(2,0), 3 N 点的直角坐标为?0, ? ? 2 3? ?, 3 ? 所以 P 点的直角坐标为?1, 则 P 点的极坐标为? ? ? 3? ?. 3? π ?2 3 π ? , ?,所以直线 OP 的极坐标方程为 θ = (ρ ∈R). 6 6? ? 3 2.设 M 是定圆 O 内一定点,任作半径 OA,连接 MA,自 M 作 MP⊥MA 交 OA 于 P,求 P 点 的轨迹方程. 解:以 O 为极点,射线 OM 为极轴,建立极坐标系,如图. 设定圆 O 的半径为 r,OM=a,P(ρ ,θ )是轨迹上任意一点. ∵MP⊥MA,∴|MA| +|MP| =|PA| . 由余弦定理,可知|MA| =a +r -2arcos θ , |MP|

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