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上海2014届高三理科数学最新试题精选(13份含16区二模)分类汇编5:数列


上海 2013 届高三理科数学最新试题精选(13 份含 16 区二模)分类汇编 5: 数列
一、选择题 1 . (上海市奉贤区 2013 年高考二模数学(理)试题 )数列 {an } 前 n 项和为 Sn ,已知 a1 ?

1 , 5

且对 任意正整 数 m, n , 都 有 am? n ? a m? a n , 若 Sn ? a 恒 成立 , 则实数 a 的 最小值 为 ( )

1 A. 4

3 B. 4

4 C. 3

D.4

2 . (上海市八校 2013 届高三下学期联合调研考试数学(理)试题)设等比数列 {an } 的前 n 项

和为 Sn ,则“ a1 ? 0 ”是“ S3 ? S2 ”的 A.充分而不必要条件 C.充要条件
二、填空题

( B.必要而不充分条件 D.既不充分又不必要条件



3 . (四区(静安杨浦青浦宝山)联考 2012 学年度第二学期高三(理) )给出 30 行 30 列的数表

5 ? 1 ? 10 ? 5 ? 9 15 A :? ? 13 20 ?? ? ? ?117 150 ?

9 15 21 27 ?

13 20 27 34 ?

? ? ? ? ?

183 216 ?

117 ? ? 150 ? 183 ? ? ,其特点是每行每列都构成等差数列,记数表主 216 ? ? ? ? 1074? ?

对角线上的数 1, 10, 21 , 34, ?, 1074按顺序构成数列 ?bn ? ,存在正整数 s、t (1 ? s ? t ) 使 b1 , bs , bt 成等差数列,试写出一组 ( s, t ) 的值_____________.
4 . ( 上 海 市 十 二 校 2013 届 高 三 第 二 学 期 联 考 数 学 ( 理 ) 试 题 ) 已 知数 列

?an ? 满 足

3an?1 ? an ? 4 (n∈N*)且 a1 =9,其前 n 项和为 Sn,则满足不等式|Sn―n―6|<
整数 n 是 A.5 ( B.6 ) C.7 D.8

1 的最小 125

5 . (上海市十二校 2013 届高三第二学期联考数学(理)试题 ) 对于自然数 i ? N ? , 设

ai,k ? i ? 3(k ? 1) (k ? 1, 2,3, ???) , 如 a3,4 ? 3 ? 3(4 ? 1) ? ?6 , 对 于 自 然 数 n, m , 当
n ? 2, m ? 2 时,设 b(i, n) ?a i,1 ?ai,2 ? ai,3 ? ? ? ? ? ai,n , S (m, n) ? b(1, n) ? b(2, n) ?

b(3, n) ? ? ? ? ? b(m, n) ,则 S (10,6) ? ____________.
6 . (上海市十二校 2013 届高三第二学期联考数学(理)试题 )设 S n 为等差数列

?an ?的前 n

项和,若 S 5 ? 10, S10 ? ?5 ,则公差为____.
7 . (上海市黄浦区 2013 年高考二模理科数学试题) 等差数列

?an ? 的前

10 项和为 30,则

a1 ? a4 ? a7 ? a10 ? ___________.
8 . (上海市虹口区 2013 年高考二模数学(理)试题 )设 an

? logn?1 (n ? 2) (n ? N ? ) ,称

) 内所有“希望数”的个数为 a1a2 a3 ?ak 为整数的 k 为“希望数”,则在 (1, 2013
___________.
9 . (上海市虹口区 2013 年高考二模数学(理)试题 )数列

?an ?的通项 an ? n ? sin n?
2

,前 n

项和为 S n ,则 S13 ? ____________.
10( .上海市奉贤区 2013 年高考二模数学 (理) 试题 ) 设正项数列

?an ?的前 n 项和是 S n ,若 ?an ?

和{ S n }都是等差数列,且公差相等, 则 a1 ? d ? ________
11. (上海市长宁、嘉定区 2013 年高考二模数学(理)试题 )(理)设 S n 为数列 ?a n ? 的前 n 项

和,若不等式 a n ?
2

2 Sn ? ma12 对任意等差数列 ?a n ? 及任意正整数 n 都成立,则实数 m 的 2 n

最大值为 _______ .
12. (上海市八校 2013 届高三下学期联合调研考试数学(理)试题)设等差数列
*

?an ? 满足:公

差 d ? N , an ? N * ,且 ?an ? 中任意两项之和也是该数列中的 一项. 若 a1 ? 35 ,则 d 的 所有可能取值之和为_______.
13. (上海市八校 2013 届高三下学期联合调研考试数学(理)试题)已知 {an } 为等差数列,其

前 n 项和为 Sn ,若 a3 ? 6 , S3 ? 12 ,则公差 d =_____.
14. (2013 年上海市高三七校联考 (理) ) 设等差数列 {an } 的公差为正,若 a2

?1 , a1a2a3 ? ?3 ,

则 a4 ? a5 ? a6 ? ____.
15. (2013 届浦东二模卷理科题)数列 {an } 满足 a n?1

?

4an ? 2 ? ( n ? N ). an ? 1

①存在 a1 可以生成的数列 {an } 是常数数列;

②“数列 {an } 中存在某一项 a k ?

49 ”是“数列 {an } 为有穷数列”的充要条件; 65

③若 {an } 为单调递增数列,则 a1 的取值范围是 (??,?1) ? (1,2) ; ④只要 a1 ?

3k ? 2k ?1 ? ,其中 k ? N ,则 lim an 一定存在; n?? 3k ? 2k

其中正确命题的序号为____________.
16. (2013 届闵行高三二模模拟试卷 (数学) 理科) 公差为 d ,各项均为正整数的等差数列 {an }

中,若 a1 ? 1, an ? 73 ,则 n ? d 的最小值等于_________________.
三、解答题 17. (上海徐汇、松江、金山区 2013 年高考二模理科数学试题)已知数列

?an? (n ? N * ) 的前 n

项和为 Sn ,数列 ?

1 ? Sn ? ? 是首项为 0 ,公差为 的等差数列. 2 ?n?

(1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)设 bn ?

4 a ? ? ?2 ? n (n ? N * ) , 对任意的正整数 k , 将集合 ?b2k ?1, b2k , b2k ?1? 中的三个 15

元素排成一个递增的等差数列,其公差为 dk ,求证:数列 ?dk ? 为等比数列; (3)对(2)题中的 dk ,求集合 x d k ? x ? d k ?1 , x ? Z 的元素个数.

?

?

18. (四区(静安杨浦青浦宝山)联考 2012 学年度第二学期高三(理) )本题共有 3 小题,第 1

小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 8 分. 已 知 数 列 ?an ? 的 前

n 项 和 为 S n , 且 满 足 a1 ? a (

a ? 3 ),

an?1 ? S n ? 3n , 设

bn ? S n ? 3n , n ? N ? .
(1)求证:数列 ?bn ? 是等比数列; (2)若 a n ?1 ≥ a n , n ? N ? ,求实数 a 的最小值; (3) 当 a ? 4 时 , 给出一个新数列 ?en ? , 其中 en ? ? 项和为 C n , 若 C n 可以写成 t
p

?3 , n ? 1 , 设这个新数列的前 n ?bn , n ? 2

( t , p ? N 且 t ? 1, p ? 1 ) 的形式, 则称 C n 为“指数型

?

和”.问 ?C n ? 中的项是否存在“指数型和”,若存在,求出所有“指数型和”;若不存在,

请说明理由.

19. (上海市闸北区 2013 届高三第二学期期中考试数学(理)试卷)本题满分 16 分,第 1 小题满

分 8 分,第 2 小题满分 8 分

设数列 ?an ? 与 {bn } 满足:对任意 n ? N ,都有 ban ? 2 ? ? b ?1? Sn , bn ? an ? n ? 2n?1 .
?

n

其中 Sn 为数列 ?an ? 的前 n 项和.

(1)当 b ? 2 时,求数列 ?an ? 与 {bn } 的通项公式; (2)当 b ? 2 时,求数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn .
20. (上海市十二校 2013 届高三第二学期联考数学(理)试题 )(本题满 分 18 分)本题共有 3

个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 8 分. 如果存在常数 a 使得数列 ?an ? 满足:若 x 是数列 ?an ? 中的一项,则 a ? x 也是数列 ?an ? 中的一项,称数列 ?an ? 是关于常数 a 的“兑换数列”. (1) 若数列: 1, 2, 4, m (m ? 4) 是关于 a 的“兑换数列”,求 m 和 a 的值; (2) 已知项数为 n0 ( n0 ? 3 )有限 等差数列 ?bn ? ,其所有项的和是 B ,求证:数列 ?bn ? 是 ..

关于常数

2B 的“兑换数列”. n0

(3) 对于一个不少于 3 项,且各项皆为正整数的递增 等比数列 ?cn ? ,是否是“兑换数 列”?若是,请求出常数 a 的值;否则请说明理由. 科网 ZXXK]
21. (上海市普陀区 2013 届高三第二学期(二模)质量调研数学(理)试题)本大题共有 3 小

题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分 ,第 3 小题满分 8 分. 对于任意的 n ? N , 若数列 {an } 同时满足下列两个条件 , 则称数列 {an } 具有“性质
*

m ”:①

an ? an ? 2 ? a n ?1 ; 2

②存在实数 M ,使得 an ? M 成立.

(1)数列 {an } 、 {bn } 中, an ? n 、 bn ? 2 sin 具有“性质 m ”;

n? ( n ? 1,2,3,4,5 ),判断 {an } 、 {bn } 是否 6 1 7 , S 3 ? , 证明 : 数列 4 4

(2) 若各项为正数的等比数列 {cn } 的前 n 项和为 Sn , 且 c3 ?

{S n } 具有“性质 m ”,并指出 M 的取值范围;
(3) 若 数 列 {dn } 的 通 项 公 式 d n ?

t (3 ? 2 n ? n) ? 1 * ( n ? N ). 对 于 任 意 的 2n

n ? 3 ( n ? N * ),数列 {dn } 具有“性质 m ”,且对满足条件的 M 的最小值 M 0 ? 9 ,求
整数 t 的值
22. (上海市黄浦区 2013 年高考二模理科数学试题)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,

第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 8 分. 已知数列 ?an ? 具有性质:① a1 为整数;②对于任意的正整数 n ,当 an 为偶数时,

an ?1 ?

an a ?1 ;当 an 为奇数时, an ?1 ? n . 2 2

(1)若 a1 为偶数,且 a1 , a2 , a3 成等差数列,求 a1 的值; (2)设 a1 ? 2m ? 3 ( m ? 3 且 m ?N),数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,求证: Sn ? 2m?1 ? 3 ; (3)若 a1 为正整数,求证:当 n ? 1 ? log2 a1 ( n ?N)时,都有 an ? 0 .
23 . (上海市虹口区 2013 年高考二模数学(理)试题 ) 已知复数

z n ? an ? bn ? i , 其中

a n ? R , bn ? R , n ? N ? , i 是虚数单位,且 z n?1 ? 2z n ? z n ? 2i , z1 ? 1 ? i .
(1)求数列 ?an ? , ?bn ? 的通项公式; (2) 和:① a1a2 ? a2 a3 ? ? ? an an?1 ;② b1b2 ? b2b3 ? b3b4 ? b4b5 ? ? ? (?1) n?1 bn bn?1 . 求

24. (上海市奉贤区 2013 年高考二模数学(理)试题 )已知数列{an}中,a2=1,前 n 项和为 Sn,

且 Sn ?

n(an ? a1 ) . 2

(1)求 a1,a3;[ (2)求证:数列{an}为等差数 列,并写出其通项公式; (3)设 lg bn ?

an?1 ,试问是否存在正整数 p,q(其中 1<p<q),使 b1,bp,bq 成等比数列?若存在, 3n

求出所有满足条件的数组(p,q);若不存在,说明理由.

25. (上海市长宁、嘉定区 2013 年高考二模数学(理)试题 )(本题满分 18 分,第 1 小题满分

4 分,第 2 小题满分 8 分,第 3 小题 6 分) (理)已知三个互不相等的正数 a , b , c 成等比数列,公比为 q .在 a , b 之间和 b , c 之 间 共插入 n 个数,使这 n ? 3 个数构成等差数列.

(1)若 a ? 1 ,在 b , c 之间插入一个数,求 q 的值; (2)设 a ? b ? c , n ? 4 ,问在 a , b 之间和 b , c 之间各插入几个数,请说明理由; (3)若插入的 n 个数中,有 s 个位于 a , b 之间,个位于 b , c 之间,试比较 s 与的大小.

26. (上海市八校 2013 届高三下学期联合调研考试数学(理)试题)

(本题满分 18 分;第(1)小

题 4 分,第(2)小题 6 分,第(3)小题 8 分) 对于数列 A : a1 , a2 , a3 ( a , 定义“ T 变换”: T 将数列 A 变换成数列 i ? N , i? 1, 2, 3) , 且 b3 ? | a3 ? a1 | . 这 种 “ T 变 换 ” 记 作 B : b1 , b2 , b3 , 其 中 bi ? | ai ? ai?1 | ( i ? 1, 2) B ? T ( A) .继续对数列 B 进行“ T 变换”,得到数列 C : c1 , c2 , c3 ,依此类推,当得到的 数列各项均为 0 时变换结束. (1)试问 A : 2, 6, 4经过不断的“ T 变换”能否结束?若能,请依次写出经过“ T 变换” 得到的各数列;若不能,说明理由; (2) 设 A : a1 , a2 , a3 , B ? T ( A) . 若 B : b, 2, a (a ? b) , 且 B 的 各 项 之 和 为 2012 . 求

a,b ;
(3)在(2)的条件下,若数列 B 再经过 k 次“ T 变换”得到的数列各项之和最小,求 k 的 最小值,并说明理由.

27. (2013 年上海市高三七校联考(理) )本题共有 3 小题,第( 1)小题 4 分,第(2)小题 6 分,

第(3)小题 8 分. y … A4 A2 A0 A1 O x
第 23 题图

A3

一青蛙从点 A0 ( x0, y0 ) 开始依次水平向右和竖直向上跳动,其落点坐标依次是

y0 ) 坐标以已知条件为准), Sn 表示青蛙从点 A0 Ai ( xi, yi )(i ? N ? ) ,(如图所示, A0 ( x0, 到点 An 所经过的路程.
(1)若点 A0 ( x0, y0 ) 为抛物线 y2 ? 2 px ( p ? 0) 准线上一点,点 A1 、A2 均在该抛物线上, 并且直线 A 1 A2 经过该抛物线的焦点,证明 S2 ? 3 p . (2)若点 An ( xn, yn ) 要么落在 y ? x 所表示的曲线上,要么落在 y ? x2 所表示的曲线上, 并且 A0 ( , ) ,试写出 lim S n (请简要说明理由);
n ???

1 1 2 2

(3)若点 An ( xn, yn ) 要么落在 y ? x 所表示的曲线上,要么落在 y ? 2 x 所表示的曲线上,

1) ,求 Sn 的表达式. 并且 A0 ( ,
28. (2013 届浦东二模卷理科题)本题共有 3 个小题, 第(1)小题满分 4 分,第(2)小题满分 6

1 2

分,第(3)小题满分 6 分. 已知直角 ?ABC 的三边长 a, b, c ,满足 a ? b ? c (1)在 a, b 之间插入 2011 个数,使这 2013 个数构成以 a 为首项的等差数列 ?an ? ,且它们 的和为 2013 ,求 c 的最小值; (2)已知 a, b, c 均为正整数,且 a, b, c 成等差数列,将满足条件的三角形的面积从小到大 排 成 一 列 S1, S2 , S3 ,?, Sn , 且 Tn ? ?S1 ? S2 ? S3 ? ? ? (?1)n Sn , 求 满 足 不 等 式

T2n ? 6 ? 2n ?1 的所有 n 的值;
c? ? a? ? (3)已知 a, b, c 成等比数列,若数列 ? X n ? 满足 5 X n ? ? ? ? ? ? ? ? (n ? N ) ,证明:数 ?a? ? c?

n n

?

X n 中的任意连续三项为边长均可以构成直角三角形,且 X n 是正整数.

?

29. (2013 届闵行高三二模模拟试卷(数学)理科)本题共有 3 个小题,第(1)小题满分 4 分,

第(2)小题满分 6 分,第(3)小题满分 8 分. 如图,过坐标原点 O 作倾斜角为 60 的直线交抛物线 ? : y 2 ? x 于 P 1 点,过 P 1 点作倾斜
?

角为 120 的直线交 x 轴于 Q1 点,交 ? 于 P 2 点 ;过 P 2 点作倾斜角为 60 的直线交 x 轴于
? ? ? Q2 点,交 ? 于 P 3 点;过 P 3 点作倾斜角为 120 的直线,交 x 轴于 Q3 点,交 ? 于 P 4 点;如此

下 去 . 又 设 线 段

OQ1 , QQ L2 ,Q L 1 ,Q 2 Q , 3n? Qn,

的 长 分 别 为 1

a1 , a2 , a3 ,L , an ,L , ?OPQ ?Q1P2Q2, ?Q2 PQ L ,?Qn?1PnQn, L 的面积分别为 1 1, 3 3, G1 , G2 , G3 ,L , Gn ,L , 数列 ?an ? 的前 n 项的和为 Sn .
(1)求 a1 , a2 ; (2)求 an , lim

n ??

Gn ; Sn

a (3) 设 bn ? a n (a ? 0且a ? 1) , 数列 {bn } 的前 n 项和为 Tn , 对于正整数 p, q, r , s , 若

p ? q ? r ? s ,且 p ? s ? q ? r ,试比较 Tp ? Ts 与 Tq ? Tr 的大小.

y P1

P3 x

O

Q1 P2

Q2

Q3

P4

上海 2013 届高三理科数学最新试题精选(13 份含 16 区二模)分类汇编 5:数列参考答案 一、选择题

A 2. C
1. 二、填空题 3. 4. 5. 6. 7.

(17,25) .
C

? 120 ?1

12 8. 9; 9. 7;
10.

3 4

11.

1 5

12. 364 13. 2 14. 21 15. ①④ 16. 18 ; 三、解答题 17.本题共有 3 个小题,第(1)小题满分 4 分,第(2)小题满分 6 分, 第(3)小题满分 6 分.

解:(1)由条件得

Sn 1 n ? 0 ? (n ? 1) ,即 Sn ? (n ? 1) , n 2 2

所以, an ? n ?1(n ? N * )

4 ? (?2) n ?1 (n ? N * ) 15 4 4 4 4 (?2) 2 k ? 2 ? ? 22 k ? 2 , b2 k ? (?2)2 k ?1 ? ? ? 22 k ?1 , 所以, b2 k ?1 ? 15 15 15 15 4 4 b2 k ?1 ? (?2) 2 k ? ? 22 k , 15 15
(2) 由(1)可知 bn ? 由 2b2k ?1 ? b2 k ? b2 k ?1 及 b2k ? b2k ?1 ? b2k ?1 得

b2k , b2k ?1 , b2k ?1 依次成递增的等差数列,
4 2 k 4 2 k ? 2 4k ?2 ? ?2 ? 所以 d k ? b2 k ?1 ? b2 k ?1 ? , 15 15 5
满足

d k ?1 ? 4 为常数,所以数列 ?dk ? 为等比数列 dk

(3)①当 k 为奇数时,
1 k ?1 5 ? Ck2 5k ? 2 ? ? ? (?1) k 4k (5 ? 1) k 5k ? Ck ? ? 5 5 5 , 1 k ?1 1 k ?2 2 k ?3 k ?1 0 k ?1 ? 5 ? Ck 5 ? Ck 5 ? ? ? Ck 5 (?1) ? 5

dk ?

同样,可得 d k ?1 ?

4k ?1 (5 ? 1)k ?1 1 1 k ?1 ? ? 5k ? Ck ? Ck2?1 5k ?2 ? ? ? Ckk?1 50 (?1)k ? , ?1 5 5 5 5

所以,集合 x d k ? x ? d k ?1 , x ? Z 的元素个数为 (d k ?1 ? ) ? ( d k ? ) ? 1

?

?

1 5

1 5

? d k ?1 ? d k ?

3 3(4k ? 1) ? ; 5 5

②当 k 为偶数时,同理可得集合 x d k ? x ? d k ?1 , x ? Z 的元素个数为

?

?

3 ? (4k ? 1) 5

18.本题共有 3 小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 8 分.

解:(1) an?1 ? S n ? 3n ? S n?1 ? 2S n ? 3n , bn ? S n ? 3n , n ? N ? ,当 a ? 3 时,

bn?1 Sn?1 ? 3n?1 2Sn ? 3n ? 3n?1 =2,所以 ?bn ? 为等比数列. ? ? bn Sn ? 3n Sn ? 3n

b1 ? S1 ? 3 ? a ? 3 , bn ? (a ? 3) ? 2 n?1 .
(2) 由(1)可得 S n ? 3n ? (a ? 3) ? 2 n?1

an ? S n ? S n?1 , n ? 2, n ? N ?

a n ?1 ? ; an ? ? n ?1 n?2 n?2 ?2 ? 3 ? (a ? 3) ? 2
? a 2 ? a1 an?1 ?a n , ? ?a n ?1 ? a n n ? 2
(3)由(1)当 a ? 4 时, bn ? 2 n?1
n 当 n ? 2 时, Cn ? 3 ? 2 ? 4 ? ? ? 2 n ? 2 ? 1 , C1 ? 3 ,

, a ? ?9

所以 a ? ?9 ,且 a ? 3 .所以 a 的最小值为

所以对正整数 n 都有 Cn ? 2 n ? 1 . 由t
p

? 2 n ? 1 , t p ? 1 ? 2 n ,( t , p ? N ? 且 t ? 1, p ? 1 ), t 只能是不小于 3 的奇数.

p

p

①当 p 为偶数时, t p ? 1 ? (t 2 ? 1)(t 2 ? 1) ? 2 n ,
p p

因为 t 2 ? 1 和 t 2 ? 1 都是大于 1 的正整数,
p p

所以存在正整数 g , h ,使得 t 2 ? 1 ? 2 g , t 2 ? 1 ? 2 h ,

2 g ? 2 h ? 2 , 2 h (2 g ?h ? 1) ? 2 , 所 以 2 h ? 2 且 2 g ?h ? 1 ? 1 ? h ? 1, g ? 2 , 相 应 的

n ? 3 ,即有 C3 ? 32 , C3 为“指数型和”;
2 p ?1 ②当 p 为奇数时, t p ? 1 ? (t ? 1)(1 ? t ? t 2 ? ? ? t p?1 ) , 由于 1 ? t ? t ? ? ? t 是 p

个奇数之和 , 仍为奇数 , 又 t ? 1 为正偶数 , 所以 (t ? 1)(1 ? t ? t 2 ? ? ? t p?1 ) ? 2 n 不成 立,此时没有“指数型和”.
19.解:由题意知 a1

? 2 ,且

ban ? 2n ? ?b ?1? Sn ban?1 ? 2n?1 ? ?b ?1? Sn?1
两式相减得 b ? an?1 ? an ? ? 2 ? ?b ?1? an?1
n

即 an?1 ? ban ? 2n



(1)当 b ? 2 时,由①知 an?1 ? 2an ? 2n 于是 an?1 ? ? n ? 1? ? 2 ? 2an ? 2 ? ? n ? 1? ? 2
n n n

? 2 ? an ? n ? 2n ?1 ?
n ?1 又 a1 ?1? 2n?1 ? 1 ? 0 ,所以 an ? n ? 2 是首项为 1,公比为 2 的等比数列.

?

?

故知, bn ? 2 n?1 , 再由 bn ? an ? n ? 2 n?1 ,得 an ? ? n ?1? 2 另解:
n?1

.

an ?1 an 1 ? ? 2n ?1 2n 2 a 1 ?a ? ? 1 ,公差为 的等差数列, 是首项为 1 ?? n 1 n? 2 2 ?2 ?

?

an n ?1 n ?1 ? 1? ? n 2 2 2

?an ? ? n ?1? ? 2n?1 bn ? ? n ?1? ? 2n?1 ? n ? 2n?1 ? 2n?1
(2)当 b ? 2 时,由①得

an ?1 ?

1 1 1 ? ? ? 2n ?1 ? ban ? 2n ? ? 2n ?1 ? b ? an ? ? 2n ? 2?b 2?b 2?b ? ?

若 b ? 0 , Sn ? 2n 若 b ? 1 , an ? 2 n , S n ? 2 n?1 ? 2

1 ,数列 ?a n ? 若 b ? 0、

? ?

2(1 ? b) 1 ? 为首项,以 b 为 公比的等比数列,故 ? 2 n ? 是以 2?b 2?b ?

an ?

1 2(1 ? b) n ?1 ? 2n ? ?b , 2?b 2?b 1 an ? 2 n ? ?2 ? 2b ?b n ?1 2?b 1 2(1 ? b) Sn ? 2 ? 2 2 ? 23 ? ? ? ? ? 2 n ? 1 ? b1 ? b 2 ? ? ? ? ? b n ?1 2?b 2?b

?

?

?

?

?

?

Sn ?

2(2n ? b n ) 2?b

b ? 1 时, Sn ? 2n?1 ? 2 符合上式

2(2n ? b n ) 所以,当 b ? 0 时, Sn ? 2?b
当 b ? 0 时, S n ? 2 n

另解: 当 n ? 1 时, S1 ? a1 ? 2 当 n ? 2 时,?ban ? 2 ? ? b ?1? Sn
n

?b ? Sn ? Sn?1 ? ? 2n ? ?b ?1? Sn
?Sn ? bSn?1 ? 2n

若 b ? 0 , Sn ? 2n 若 b ? 0 ,两边同除以 2 得
n

S n b S n ?1 ? ? ?1 2 n 2 2 n ?1



Sn Sn b Sn ?1 b Sn ?1 2 ? 2m ?m? ? n ? 1 ? m ,即 n ? m ? ?( n ? ) n ?1 2 2 2 2 2 2 ?1 b 2 ? 2m 2 得m ? b b?2

由m ?

?{

Sn 2 b b ? } 是以 为首项, 为公比的等比数列 n 2 b?2 2 b?2

?

Sn 2 b b ? ? ? ( ) n ?1 , n 2 b?2 b?2 2

所以,当 b ? 0 时, Sn ?

2(2n ? b n ) 2?b

20.

21.解:(1)在数列 {an } 中,取 n ? 1 ,则

a1 ? a3 ? 2 ? a 2 ,不满足条件①,所以数列 {an } 不具 2

有“ m 性质”; 在 数 列 {bn } 中 , b1 ? 1 , b2 ? 3 , b3 ? 2 , b4 ? 3 , b5 ? 1 , 则

b1 ? b3 ? 3 ? 2 3 ? 2b2 , b2 ? b4 ? 2 3 ? 4 ? 2b3 , b3 ? b5 ? 3 ? 2 3 ? 2b4 ,所以满
足条件①; bn ? 2 sin

n? ? 2 ( n ? 1,2,3,4,5 ) 满足条件②,所以数列 {bn} 具有“性质 6

m”
(2)因为数列 {cn } 是各项为正数的等比数列,则公比 q ? 0 , 将 c3 ?

c c 1 7 代入 S 3 ? 3 ? 3 ? c3 ? 得, 6q 2 ? q ? 1 ? 0 , 2 4 q 4 q

1 1 或 q ? ? (舍去), 2 3 1 1 所以 c1 ? 1 , c n ? n ?1 , S n ? 2 ? n ?1 2 2
解得 q ?

对于任意的 n ? N ,
*

S n ? S n?2 1 1 1 ? 2 ? n ? n ? 2 ? 2 ? n ? S n ?1 ,且 S n ? 2 2 2 2 2

所以数列数列 {S n } 具有“ m 性质”

M ?2
(3)由于 d n ? 3t ?

tn ? 1 t (n ? 1) ? 1 t (n ? 2) ? 1 ,则 d n ?1 ? 3t ? , d n ? 2 ? 3t ? n n ?1 2 2 2 n?2
*

由于任意 n ? [3, ? ?] 且 n ? N ,数列 {dn } 具有“性质 m ”,所以 d n ? d n?2 ? 2d n?1

tn ? 1 t (n ? 2) ? 1 t ( n ? 1) ? 1 ? ? 2? ,化简得, t (n ? 2) ? 1 n n?2 2 2 2 n ?1 1 * 即t ? 对于任意 n ?[3, ? ?) 且 n ? N 恒成立,所以 t ? 1 ① n?2 tn ? 1 t (n ? 1) ? 1 t ( n ? 1) ? 1 d n ?1 ? d n ? n ? = 由于 n ? 3 及①,所以 d n?1 ? d n 2 2 n ?1 2 n ?1 tn ? 1 即 n ? 3 时,数列 {dn } 是单调递增数列,且 lim d n ? lim(3t ? n ) ? 3t n?? n?? 2 只需 3t ? 9 ,解得 t ? 3 ② 由① ②得 1 ? t ? 3 ,所以满足条件的整数 t 的值为 2 和 3. 经检验 t ? 2 不合题意,舍去,满足条件的整数只有 t ? 3

22. 【解析】⑴设 a1

? 2k , a2 ? k ,则: 2k ? a3 ? 2k , a3 ? 0
a2 ? 1 k ? 1 ? ? 0 , k ? 1 , a1 ? 2, a2 ? 1, a3 ? 0 2 2

分两种情况: k 是奇数,则 a3 ? 若 k 是偶数,则 a3 ?

a2 k ? ? 0 , k ? 0 , a1 ? 0, a2 ? 0, a3 ? 0 2 2

⑵当 m ? 3 时, a1 ? 2m ? 3, a2 ? 2m?1 ? 1, a3 ? 2m?2 , a4 ? 2m?3 ,

a5 ? 2m?4 ,?, am ? 2, am?1 ? 1, am?2 ? ? ? an ? 0
∴ Sn ? Sm?1 ? 1 ? 2 ? ? ? 2m ? 4 ? 2m ? 3 ⑶∵ n ? 1 ? log2 a1 ,∴ n ?1 ? log2 a1 ,∴ 2n?1 ? a1

? an , a 是偶数 ? a ?2 n a ? ? n 由定义可知: n ?1 ? ? an ? 1 , a 是奇数 2 n ? ? 2


an ?1 1 ? an 2

∴ an ? ∴ an ?

an an ?1 a 1 ? ?? ? 2 ? a1 ? n?1 a1 an ?1 an ?2 a1 2
1 ? 2n ?1 ? 1 2n ?1

∵ an ? N ,∴ an ? 0 , 综上可知:当 n ? 1 ? log2 a1 (n ? N ) 时,都有 an ? 0

23. ( 14 分)解:(1)? z1

? a1 ? b1 ? i ? 1 ? i ,? a1 ? 1 , b1 ? 1 .



z n?1 ? 2z n ? z n ? 2i



?a ? 3a n an?1 ? bn?1 ? i ? 2(an ? bn ? i) ? (an ? bn ? i) ? 2i ? 3an ? (bn ? 2) ? i ,? ? n ?1 ?bn ?1 ? bn ? 2

? 数列 ?an ? 是以 1 为首项公比为 3 的等比数列,数列 ?bn ? 是以 1 为首项公差为 2 的等差
数列,? an ? 3n?1 , bn ? 2n ? 1 (2)①由(1)知 an ? 3n?1 ,?

ak a k ?1 ? 32 ,? 数列 ?an an?1 ?是以 3 为首项,公比为 32 的等 a k ?1ak
3(1 ? 32 n ) 32 n?1 3 ? ? 1? 9 8 8

比数列. ? a1 a 2 ? a 2 a3 ? ? ? a n a n ?1 ?
? ②当 n ? 2k , k ? N 时,

b1b2 ? b2b3 ? b3b4 ? b4b5 ? ? ? (?1) n?1 bnbn?1 ? (b1b2 ? b2b3 ) ? (b3b4 ? b4b5 ) ? ? ? (b2k ?1b2k ? b2k b2k ?1 )
? ?4b2 ? 4b4 ? ? ? 4b2 k ? ?4(b2 ? b4 ? ? ? b2 k ) ? ?4 ? k (b2 ? b2 k ) ? ?8k 2 ? 4k ? ?2n 2 ? 2n 2

? 当 n ? 2k ? 1 , k ? N 时, b1b2 ? b2b3 ? b3b4 ? b4b5 ? ?? (?1)n?1bnbn?1

? (b1b2 ? b2 b3 ) ? (b3b4 ? b4 b5 ) ? ? ? (b2k ?1b2k ? b2k b2k ?1 ) ? b2k ?1b2k ? 2 ? ?8k 2 ? 4k ? (4k ? 1)(4k ? 3) ? 2n 2 ? 2n ? 1
又 n ? 1 也满足上式
?2n 2 ? 2n ? 1 当n为奇数时 ? b1b2 ? b2 b3 ? b3 b4 ? b4 b5 ? ? ? (?1) n ?1 bn bn ?1 ? ? ? 2 ? ?? 2n ? 2n 当n为偶数时

24.解:(1)令 n=1,则 a1=S1=

1(a1 ? a1 ) =0 ; 2


a3=2;


(2)由 Sn ? ②-①,得

n(an ? a1 ) na ,即 Sn ? n , 2 2
(n ? 1)an ?1 ? nan .

Sn?1 ?


(n ? 1) an?1 . 2



于是, nan? 2 ? (n ? 1)an?1 .



③+④,得 nan ? 2 ? nan ? 2nan ?1 ,即 an ? 2 ? an ? 2an ?1 又 a1=0,a2=1,a2-a1=1, 所以,数列{an}是以 0 为首项,1 为公差的等差数列. 所以,an=n-1 法二②-①,得
(n ? 1)an ?1 ? nan .



于是,

a n ?1 a a a a ? n ,? n ? n ?1 ? ? ? 2 n n ?1 n ?1 n ? 2 1
所以,an=n-1.

?

an ?1 n ?1

(3)假设存在正整数数组(p,q),使 b1,bp,bq 成等比数列, 则 lgb1,lgbp,lgbq 成等差数列, 于是,

2p 1 q ? ? 3p 3 3q 2p 1 ? ) (☆).易知(p,q)=(2,3)为方程(☆)的一组解 3p 3 2( p ? 1) 2 p 2 ? 4 p ? p ? p ?1 <0, 3p ?1 3 3

所以, q ? 3q (

当 p≥3,且 p∈N*时, 故数列{ 于是

2p }(p≥3)为递减数列 3p

2p 1 2?3 1 ? ≤ 3 ? <0,所以此时方程(☆)无正整数解 3 3 3p 3 综上,存在唯一正整数数 对(p,q)=(2,3),使 b1,bp,bq 成等比数列 25. (本题满分 18 分,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 8 分,第 3 小题 6 分)
解:(1)因为 a , b , c 是互不相等的正数,所以 q ? 0 且 q ? 1 . 由已知, a , b , c 是首项为,公比为 q 的等比数列,则 b ? q , c ? q ,
2

当插入的一个数位于 b , c 之间, 设由 4 个数构成的 等差数列的公差为 d ,则

?q ? 1 ? d 2 ,消去 d 得 2q ? 3q ? 2 ? 0 , ? 2 ?q ? 1 ? 3d
因为 q ? 1 ,所以 q ? 2

(2)设所构成的等差数列的公差为 d ,由题意, d ? 0 ,共插入 4 个数.

若在 a , b 之间插入个数,在 b , c 之间插入 3 个数,则 ? 于是

?b ? a ? 2d , ?c ? b ? 4d

b?a c?b 2 , 2b ? 2a ? c ? b , q ? 3q ? 2 ? 0 ,解得 q ? 2 ? 2 4

若在 a , b 之间插 入 3 个数,在 b , c 之间插入个数,则 ? 于是

?b ? a ? 4d , ?c ? b ? 2d

b?a c?b 1 , 2c ? 2b ? b ? a 解得 q ? (不合题意,舍去) ? 4 2 2

若 a , b 之间和 b , c 之间各插入 2 个数,则 ? 解得 q ? 1 (不合题意,舍 去)

?b ? a ? 3d ,b ? a ? c ? b, ?c ? b ? 3d

综上, a , b 之间插入个数,在 b , c 之间插入 3 个数 (3)设所构成的等差数列的公差为 d ,

b?a b?c ,又 c ? b ? (t ? 1)d , d ? , s ?1 t ?1 b?a c?b q ? 1 q (q ? 1) t ?1 所以 ,即 ,因为 q ? 1 ,所以 ? ? ?q s ?1 t ?1 s ?1 t ?1 s ?1
由题意, b ? a ? ( s ? 1)d , d ? 所以,当 q ? 1 ,即 a ? b ? c 时, s ? t ;当 0 ? q ? 1 ,即 a ? b ? c 时, s ? t .

26.

27.解:(1)设 A0 ( ?

p , y0 ) ,由于青蛙依次向右向上跳动, 2 p p y0 ) , A2 ( ,? y0 ) ,由抛物线定义知: S2 ? 3 p 所以 A1 ( , 2 2
(2) 依题意, x2 n?1 ?
n ??

x2n?1, x2n ? x2n?1, y2n ? y2n?1 ? x2n?1 (n ? N * )

lim S n ?| A0 A1 | ? | A1 A2 | ? | A2 A3 | ? | A3 A4 | ? ? ? | A2 n ?2 A2 n ?1 | ? | A2 n ?1 A2 n | ? ?

? ( x1 ? x0 ) ? ( y2 ? y1 ) ? ( x3 ? x2 ) ? ( y4 ? y3 ) ? ( x5 ? x4 ) ? ?? ( x2n?1 ? x2n ) ? ( y2n ? y2n?1 ) ? ? ? 2( x1 ? x0 ) ? 2( x3 ? x2 ) ? 2( x5 ? x4 ) ? ?? 2( x2n?1 ? x2n ) ? ?
, 1) 随着 n 的增大,点 An 无限接近点 (1

横向路程之和无限接近 1 ? 所以 lim S n =
n ???

1 1 1 1 ? ,纵向路程之和无限接近 1 ? ? 2 2 2 2

1 1 ? ?1 2 2

(注:只要能说明横纵坐标的变化趋势,用文字表达也行) (3)设点 A2k ( x2k, y2k ), A2k ?1 ( x2 k ?1, y2 k ?1 ) ,由题意, An 的坐标满足如下递推关系:

1 x0 ? , y0 ? 1 ,且 y2k ?1 ? y2k (k ? 0,,,, 1 2 3 ?), x2k ?1 ? x2k ?2 (k ? 0,,,, 1 2 3 ?) 2
其中 y2k ?1 ? x2k ?1, y2k ? 2x2k ,∴ x2k ?1 ? x2k ?2 ? 2x2k , (方法一)∴ {x2 k } 是以 x0 ? 即当 n 为偶数时, xn ?
k

1 1 k 为首项, 2 为公比的等比数列,∴ x2 k ? ? 2 , y2k ? 2k 2 2

n 1 n ? 2 2 , yn ? 2 2 2 n ?1 2 n ?1 2

又 x2k ?1 ? x2k ?2 ? 2 , y2k ?1 ? x2k ?1 ? 2 ,∴当 n 为奇数时, xn ? 2
k

, yn ? 2

于是,当 n 为偶数时,

| A0 A1 | ? | A1 A2 | ? | A2 A3 | ? | A3 A4 | ??? | A2k ?2 A2k ?1 | ? | A2k ?1 A2k | ? ( x1 ? x0 ) ? ( y2 ? y1 ) ? ( x3 ? x2 ) ? ( y4 ? y3 ) ? ( x5 ? x4 ) ? ?? ( x2k ?1 ? x2k ?2 ) ? ( y2k ? y2k ?1 ) ? ( x1 ? x0 ) ? ( y2 ? y0 ) ? ( x3 ? x1 ) ? ( y4 ? y2 ) ? ( x5 ? x3 ) ? ?? ( x2k ?1 ? x2k ?3 ) ? ( y2k ? y2k ?2 )
3 3 ? ( x2 k ? y2 k ) ? ( x0 ? y0 ) ? ? 2k ? 2 2
当 n 为奇数时,

| A0 A1 | ? | A1 A2 | ? | A2 A3 | ? | A3 A4 | ??? | A2k ?2 A2k ?1 | ? | A2k A2k ?1 | ? ( x1 ? x0 ) ? ( y2 ? y1 ) ? ( x3 ? x2 ) ? ( y4 ? y3 ) ? ( x5 ? x4 ) ? ?? ( y2k ? y2k ?1 ) ? ( x2k ?1 ? x2k ) ? ( x1 ? x0 ) ? ( y2 ? y0 ) ? ( x3 ? x1 ) ? ( y4 ? y2 ) ? ( x5 ? x3 ) ? ?? ( y2k ?1 ? y2k ) ? ( x2k ?1 ? x2k ?1 )
? ( x2 k ?1 ? y2 k ?1 ) ? ( x0 ? y0 ) ? 2 ? 2k ?
?1 ? n2 3 2 ? ? 2 ∴ Sn ? ? n 3 2 ? (2 ? 1) ?2

3 2

n为奇数 n为偶数
1 1 k 为首项, 2 为公比的等差数列,∴ x2 k ? ? 2 , y2k ? 2k 2 2

(方法二)∴ {x2 k } 是以 x0 ?

又 x2k ?1 ? x2k ?2 ? 2k , y2k ?1 ? x2k ?1 ? 2k ∴ x2 k ?1 ? x2 k ? 2 ?
k

1 k 1 k ? 2 ? ? 2 , y2k ?2 ? y2k ?1 ? 2k ?1 ? 2k ? 2k 2 2

于是,当 n 为偶数时,

| A0 A1 | ? | A1 A2 | ? | A2 A3 | ? | A3 A4 | ??? | A2k ?2 A2k ?1 | ? | A2k ?1 A2k | ? ( x1 ? x0 ) ? ( y2 ? y1 ) ? ( x3 ? x2 ) ? ( y4 ? y3 ) ? ( x5 ? x4 ) ? ?? ( x2k ?1 ? x2k ?2 ) ? ( y2k ? y2k ?1 )
1 1 3 3 ? ( ? 1 ? 2 ? ? ? ? 2k ?1 ) ? (1 ? 2 ? ? ? 2 k ?1 ) ? ? 2k ? 2 2 2 2
当 n 为奇数时,

| A0 A1 | ? | A1 A2 | ? | A2 A3 | ? | A3 A4 | ??? | A2k ?2 A2k ?1 | ? | A2k A2k ?1 | ? ( x1 ? x0 ) ? ( y2 ? y1 ) ? ( x3 ? x2 ) ? ( y4 ? y3 ) ? ( x5 ? x4 ) ? ?? ( y2k ? y2k ?1 ) ? ( x2k ?1 ? x2k )
1 1 3 ? ( ? 1 ? 2 ? ? ? ? 2k ) ? (1 ? 2 ? ? ? 2k ?1 ) ? 2 ? 2k ? 2 2 2 n ?1 ? 2 3 n为奇数 ?2 ? 2 ∴ Sn ? ? . n 3 2 ? (2 ? 1) n为偶数 ?2
(注:本小题若没有写出递推关系,直接归纳得到正确结论而没有证明,扣 4 分)

28.解 :(1) ?an ? 是等差数列,∴
2 2 2

2013 ? (a ? b) ? 2013 ,即 a ? b ? 2 2

所以 c ? a ? b ? ? ? 2 , c 的最小值为 2 ; (2)设 a , b, c 的公差为 d (d ? Z ) ,则 a2 ? (a ? d )2 ? (a ? 2d )2 ? a ? 3d 设 三 角 形 的 三 边 长 为
3d , 4d ,5d

,



积 ,

Sd ?

1 3 ? d 4 ?2 d 2

6 ? d (

d? , ) Z

Sn ? 6n2

T2n ? ?S1 ? S2 ? S3 ? ? ? S2n ? 6[?12 ? 22 ? 32 ? 42 ? ? ? (2n)2 ]
? 6(1 ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? ?2n) ? 12n2 ? 6n
1 n ? 2n , 2 n(n ? 1) 1 n ? ? ? 2 ? 2n ? ( n 2 ? n) ? n 2 ? n , 当 n ? 5 时, 2 ? 1 ? n ? 2 2
由 T2n ? 6 ? 2n ?1 得 n ?
2

经检验当 n ? 2,3,4 时, n ?
2

1 1 n ? 2n ,当 n ? 1 时, n 2 ? n ? 2n 2 2

综上所述,满足不等式 T2n ? 6 ? 2n ?1 的所有 n 的值为 2、3、4 (3)证明:因为 a, b, c 成等比数列, b ? ac .
2

由于 a , b, c 为直角三角形的三边长,知 a ? ac ? c ,
2 2

c 1? 5 , ? a 2
n n

n n ?1? 5 ? ?1? 5 ? c? ? a? ? ? ? ? 又 5X n ? ? ? ? ? ? ? ? ( n ? N ) ,得 5 X n ? ? ? 2 ? ?? 2 ? , ?a? ? c? ? ? ? ?

?1? 5 ? ?1? 5 ? ?1? 5 ? ? ? ? ? ? 于是 5 X n ? 5 X n ?1 ? ? ? 2 ? ?? 2 ? ?? 2 ? ? ? ? ? ? ? ?1? 5 ? ? ?? ? 2 ? ? ?
n?2

n

n

n ?1

?1? 5 ? ? ?? ? 2 ? ? ?

n ?1

?1? 5 ? ? ?? ? 2 ? ? ?

n?2

? 5 X n?2

? X n +X n ?1 ? X n ? 2 ,则有?
故数列

?

Xn

? +?
2

X n ?1

? ??
2

X n?2

?.
2

?

X n 中的任意连续三项为边长均可以构成直角三角形

?

2 2 ?? 5 ? 1 ?1 ? 1 ? 5 ?1 ? 5? ? , ?? 5 ? 1 ? ? 1 ? 5 ? ? ? 因为 X 1 ? 5 ? ?? ?? ? ? ? ? ?? ? =1 X 2 ? ?? ? =1 ? ? ? ? ? ? ? ? 5 ?? 2 ? ? 2 ? ? 5 ?? 2 ? ? 2 ? ? ? ? ? ?

? X 3 ? X1 ? X 2 ? 2 ? N ? ,
由 X n ? X n ?1 ? X n ? 2 ,同理可得 X n ? N ? , X n ?1 ? N ? ? X n ? 2 ? N ? , 故对于任意的 n ? N 都有 X n 是正整数 [解] (1)如图,由 ?OQ1P 1 是边长为 a1 的等边三角形,得点 P 1 的坐标为 (
?

29.

a1 3a1 , ) ,又 2 2

P1 (

2 3a 2 a a1 3a1 , ) 在抛物线 y 2 ? x 上,所以 1 ? 1 ,得 a1 ? 3 4 2 2 2

同理 P 2 ( ?

2 3

4 a2 3a2 ,? ) 在抛物线 y 2 ? x 上,得 a2 ? 3 2 2
1: 点 Qn?1 的 坐 标 为 (a1 ? a2 ? a3 ???? ? an?1 ,0) , 即 点 直)线 Qn?1P S0 , 所 =以 0 n 的 方 程 为 y ? 3 (x? S n?1 )或

(2) 如 图 , 法

(Sn?1 , 点 0 )Q ( 与原点重合, 0

? y2 ? x ? y ? ? 3( x ? Sn?1 ) ,因此,点 Pn 的坐标满足 ? ? ? y ? 3( x ? Sn?1 )
消去 x 得 3 y 2 ? y ? 3Sn?1 ? 0 , 所以 y ?

1 ? 1 ? 12 Sn?1 2 3

又 y ? an ? sin 60 ?
?

3 an ,故 3an ? 1 ? 1 ? 12Sn?1 2
① ②

2 从而 3an ? 2an ? 4Sn?1

2 由①有 3an ?1 ? 2an?1 ? 4Sn

2 2 ②-①得 3(an ?1 ? an ) ? 2(an?1 ? an ) ? 4an

即 (an?1 ? an )(3an?1 ? 3an ? 2) ? 0 ,又 an ? 0 ,于是 an ?1 ? an ? 所以 {an } 是以

2 3

2 2 2 为首项、 为公差的等差数, an ? a1 ? (n ? 1)d ? n 3 3 3 (a1 ? an )n 1 Sn ? ? n(n ? 1) 2 3

Gn ?


3 2 3 2 G 3n2 3 an ? n , lim n ? lim ? n?? S n?? 3n(n ? 1) 4 9 3 n
2: 点

理2分

Qn?1









(a1 ? = 0

a2 ? )

a3 ? n? ? , ? a , 0? )? 1 即



(Sn?1

, 点0 与原点重合, Q ) ( 0

S, 0

所以直线 Qn?1P n 的方程为 y ? 3( x ? Sn?1 ) 或 y ? ? 3( x ? Sn?1 )

? y2 ? x ? 因此,点 P 消去 y 得 3( x ? Sn?1 )2 ? x , n ( x, y) 的坐标满足 ? ? ? y ? 3( x ? Sn?1 ) a a 2 a 2 又 x ? Sn ?1 ? n ,所以 3( n ) ? Sn ?1 ? n ,从而 3an ? 2an ? 4Sn?1 ① 2 2 2
以下各步同法 1 法 3: 点 Qn?1 的坐标为 (a1 ? a2 ? a3 ???? ? an?1 ,0) , 即点 (Sn?1 ,0)(点Q0与原点重合,S0 =0) ,所以 Pn ( Sn ?1 ?

an 3an , ), 2 2

又 Pn ( Sn ?1 ?

a 3 2 an 3an ? S n ?1 ? n , ) 在抛物线 y 2 ? x 上,得 an 4 2 2 2

2 即 3an ? 2an ? 4Sn?1

以下各步同法 1

b a (3)(理)因为 n ?1 ? bn

2( n ?1) 3 2n

? a3 ,
2 3 2 3

2

a3

所以数列 {bn } 是正项等比数列,且公比 q0 ? a ? 1 ,首项 b1 ? a ? q0 , 则 Tp ?
q r s b1 (1 ? q0p ) b (1 ? q0 ) b (1 ? q0 ) b (1 ? q0 ) , Tq ? 1 , Tr ? 1 , Ts ? 1 1 ? q0 1 ? q0 1 ? q0 1 ? q0

Tp ? Ts ?Tq ? Tr =

b12 s q r p?s q?r ? ?(1 ? q0p )(1 ? q0 ) ? (1 ? q0 )(1 ? q0 )? ? (注意 q0 ? q0 ) (1 ? q0 )2 ?

b12 r s ? ? ?(q q ? q0 ) ? (q0p ? q0 )? 2 ? 0 ? (1 ? q0 )
q r s q s r 而 (q0 ? q0 ) ? (q0p ? q0 ) ? (q0 ? q0p ) ? (q0 ? q0 ) q? p r s ?r q? p r ? q0p (q0 ?1) ? q0 (q0 ?1) ? (q0 ?1)(q0p ? q0 ) (注意 q ? p ? s ? r ) q? p r? p q? p r? p ? (q0 ?1)q0p (1 ? q0 ) ? ?q0p (q0 ?1)(q0 ?1)
2

因为 a ? 0且a ? 1 ,所以 q0 ? a 3 ? 0且q0 ? 1
q? p r? p 又 q ? p, r ? p 均为正整数,所以 (q0 ?1) 与 (q0 ? 1) 同号,
p q? p r? p 故 ?q0 (q0 ?1)(q0 ?1) ? 0 ,所以, Tp ? Ts ? Tq ? Tr

(第(3)问只写出正确结论的,给 1 分)


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