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2018年高中数学人教版选修4-5课件:不等式的证明:比较法_图文


学习目标 ? 1.理解用比较法证明不等式的理论依据,掌握利用 比较法证明不等式的的一般步骤。 ? 2.理解用综合法、分析法证明不等式的原理和思维 特点。掌握用综合法、分析法证明不等式的方法和 步骤。 ? 3.培养对数学知识的理解能力、应用能力及论证能 力。 一、比较法 比较法是证明不等式最基本的方法也是最常用的方法。 两种形式 ①作差法: a ? b ? a ? b ? 0 , a ? b ? a ? b ? 0 ; ②作商法: 当 b ? 0 时 , a ? b ? a ? 1 , a ? b ? a ? 1; b b 几点说明 ①比较法证明不等式的思路:作差(商),变形,判断; ②作差法证题时, 通常是进行因式分解,利用各因式的符 号进行判断,或进行配方,利用非负数的性质进行判断; ③作商法证题时,通常要考虑式子的正负,尤其是作为除 式式子的值必须确定符号;证幂指数、根式或乘积不等 式时常用比商法。 比较法 例 1、求证: 证明:∵ (x 2 2 x 2 ? 3 ? 3x 3 2 3 2 3 ? 3) ? 3 x ? x ? 3x ? ( 2 ) ? ( 2 ) ? 3 2 3? 3 ? ? ?x ? ? ? ≥ 2? 4 ? ? x 2 4 ? 0 ? 3 ? 3x 1.变形的目的在于判断差的符号,而不必考虑差的值是 多少。至于怎样变形,要灵活处理。 2.本题的变形方法——配方法 例2.已知 a , b , m 都是正数,并且 a ? b , 求证 证明: a ? m b ? m ? a b ? b ( a ? m ) ? a (b ? m ) b (b ? m ) a ? m b ? m ? a b ? m (b ? a ) b (b ? m ) 并且 a ? b , ∵ a , b , m 都是正数, ? b ? m ? 0, b ? a ? 0 ? m (b ? a ) b (b ? m ) ? 0 即: a ? m b ? m ? a b 1.本题变形的方法—通分法 2.本题的结论反映了分式的一个性质:若 当 时, 当 时, 都是正数, 总结:作差法是证明不等式常 见的基本的方法,它一般适用 于多项式、分式、对数式等的 不等式证明,在变形过程中往 往采用配方、通分、因式分解 等方法将之转化为可以判断符 号时为止,如:实数、因式乘 积形式、平方和形式、对数式 等。 思考题: ? 建筑学规定,民用住宅的窗户面积必须小于地板面积,但按采光标准,窗户面积与地板面积的比应不小于10 %,并且这个比越大,住宅的采光条件越好,问同时增加相等的窗户面积与地板面积,住宅的采光条件是变 好了还是变坏了?请说明理由。 例 3 : 已 知 a ? b ? c ? 0, 证 明 : a 2a b 2b c 2c ? a 2b b?c b c?a c a?b . 证明 : a a 2a b c c 2c a?b b?c b a?c ? ( a b ) a?b ( ) c b b?c ( a c ) a?c a ? b ? c ? 0? ?( a b ) a?b a b ? 1, a ? b ? 0 b b?c a a?c ? 1同 理 : ( ) ? 1, ( ) ?1 c c ?( a b ) a?b ( ) c b b?c ( a c ) a?c ?1 c?a ?a 2a b 2b c 2c ? a b?c b c a?b . 例4.证明 证明: a a a b a a b b ? a b b a ( a ? b , a、 b ? 0) b b b a ?a a?b b b?a a a?b ?( ) b a?b ? (1) 若 a ? b ? 0 ,? a b ? 1, a ? b ? 0 a a?b a b b a ?( ) ? 1? a b ? a b b ( 2 ) 若 0 ? a ? b, ? a b ? 1, a ? b ? 0 a a?b a b b a ?( ) ? 1? a b ? a b b a a?b a b b a 由 ( 1) ( 2) 知 ( ) ? 1? a b ? a b b 总结:作商法往往适用于不等式两边 为乘积形式、幂或指数等形式的证明, 判别时要注意作商的 条件,即不等 式两边同大于零,作后的结果 是和 “1”作比较 练习题 练 1.在 三 角 形 A B C 中 , 记 a 、 b 、 c 分 别 是 A、 B 、 C 的 对 边 , S 是 三 角 形 A B C 的 面 积 , 求证:c 2 ? a 2 ? b 2 ? 4ab ? 4 3S 证 明 : 在 ? A B C中 , c S ? 1 a b s in C 2 ? a ? b ? 2 ab cos C, 2 2 2 2 2 2 ? c ? a ? b ? 4ab ? 4 3S ? ? 2 ab cos C ? 4 ab ? 2 ? 4 a b (1 ? 3 2 s in C ? 1 2 3 a b s in C cos C ) 2 2 ? ? ? 4 a b [1 ? s in ( C ? )] a 、 b ? ( 0, ? ? ) 且 s in ( C ? ) ? 1 6 6 ? 4 a b [1 ? ( 3 s in C ? 1 c o s C )] ? 4 a b [1 ? s in ( C ? ? 6 )] ? 0 . 即 c 2 ? a 2 ? b 2 ? 4 a b ? 4 3S 5 5 2 3 3 2 求证: 练2 已知 a , b 都是正数,并且 a ? b , a ? b ? a b ? a b

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