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辽宁省大连八中大连二十四中2016届高三联合模拟考试数学(理)


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2016 年大连八中大连二十四中高三联合模拟考试 数学答案(供理科考生使用) 一、选择题 1. C 2. A 3. A 4. C 5. B 6.C 7.D 二、填空题 13. 5 三、解答题 17.解: (Ⅰ)? 14. 8.D 9.B 10.B 11.B 12.D

?x ? 5 ? x ? 1?

15. 7?

16.

2n n ?1

2a ? b cos B ? ,? (2a ? b) cos C ? c cos B , c cos C

? 2 sin A cos C ? sin B cos C ? cos B sin C

? 2 sin A cos C ? sin( B ? C ) ? sin A .
? ?A 是 ?ABC 的内角,? sin A ? 0 ,? 2 cos C ? 1 ,? ?C ?

? .…………6 分 3

(Ⅱ)由(1)可知 ?C ?

?
3

,? f ( x) ?

? 1 3 1 3 sin 2 x ? (1 ? 2 sin 2 x) ? sin 2 x ? cos 2 x ? sin(2 x ? ) 3 2 2 2 2

由 x ? [0,

? ? ? 2? 3 ? ] ,? ? ? 2 x ? ? ? sin(2 x ? ) ? 1 ,? ? 2 3 3 3 2 3
3 , 1] .……………………………………12 分 2
……………………… 2分

? 函数 f (x )的值域为[?
18.解: (Ⅰ)16

(Ⅱ) 2a ? 2a ? 3a ? 6a ? 7 a ? 20a ,

20a ? 10 ? 1 ,∴ a ? 0.005 ,
估计全市学生参加物理考试的平均成绩为:

0.1 ? 55 ? 0.15 ? 65 ? 0.35 ? 75 ? 0.3 ? 85 ? 0.1 ? 95 ? 76.5
(Ⅲ)从参加考试的同学中随机抽取 1 名同学的成绩在 80 分以上的概率为 X 可能的取值是 0,1,2,3.

… 6分

2 ,… 8 分 5

2 3 27 ; P( X ? 0) ? C30 ( ) 0 ( ) 3 ? 5 5 125 54 1 2 1 3 2 ; P( X ? 1) ? C3 ( )( ) ? 5 5 125 2 3 36 ; P( X ? 2) ? C32 ( ) 2 ( )1 ? 5 5 125 8 3 2 3 3 0 . P( X ? 3) ? C3 ( ) ( ) ? 5 5 125
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X 的分布列为:

X
P

0

1

2

3

27 125

54 125

36 125

8 125

……………………………10 分

所以

E( X ) ? 0 ?

27 54 36 8 6 ? 1? ? 2? ? 3? ? 125 125 125 125 5 .

2 6 2 E ( X ) ? np ? 3 ? ? X ~ B(3, ) 5 5. 5 ,所以 (或 )…………………12 分
19.解: (Ⅰ)证明:? 底面 ABCD 为平行四边形 ? AB // CD .

? AB ? 平面SCD , CD ? 平面SCD ? AB // 平面SCD
又? 平面 SCD 与平面 SAB 的交线为 l
?

? l // AB .

…………………4 分

(Ⅱ)证明:连接 AC, ? ?ABC ? 45 ,AB ? 2,BC ? 2 2 , 由余弦定理得 AC ? 2 ,? AC ? AB 取 BC 中点 G ,连接 SG , AG ,则 AG ? BC .

? SB ? SC ,? SG ? BC ,? SG ? AG ? G ,

? BC ? 面 SAG,? BC ? SA.

…………………8 分

(Ⅲ)如图,以射线 OA 为 x 轴,以射线 OB 为 y 轴,以射线 OS 为 z 轴,以 O 为原点,建立空间直角坐标系 O ? xyz , 则 A( 2 ,0,0) , B 0 , 2 ,0 .

?

?

S?0 ,0 ,1? D 2 ? 2 2 ,0

?

?
S

SD ? ( 2 ,?2 2 ,0) ? (0,0,1) ? ( 2 ,?2 2 ,?1)

SA ? ( 2 ,0,0) ? (0,0,1) ? ( 2 ,0,?1) , BA ? ( 2 ,0,0) ? (0, 2 ,0) ? ( 2 ,? 2 ,0)

C D A

B y

设平面 SAB 法向量为 n ? ? x, y, z ? 有 ? 令 x ? 1 ,则 y ?

? ? n ?SA ? 2 x ? z ? 0 ? ?n ? BA ? 2 x ? 2 2 y ? 0

1 , z ? 2 , n ? 1,1, 2 2

?

?
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cos n, SD ?

n ? SD n ? SD

?

2 ?2 2 ? 2 2 ? 11 ?

??

22 11

所以直线 SD 与面 SAB 所成角的正弦值为

22 …………………12 分 11

20.解: (Ⅰ)因为直线 AB 的方程为 ax ? by ? ab ? 0 ,所以

ab a2 ? b2

?

2 3



x2 y 2 c 2 由已知得 ? ,故可解得 a ? 2, b ? 2 ;所以椭圆的方程为 ? ? 1 …………………4 分 4 2 a 2
(Ⅱ)设 P ? x, y ? , M ? x1 , y1 ? , N ? x2 , y2 ? ,则由 OP ? ? OM ? 2 ? ON 得, 即 x ? ? x1 ? 2 ? x2 , y ? ? y1 ? 2 ? y2 因为点 P, M , N 在椭圆

x2 y 2 ? ? 1 上,所以 x12 ? 2 y12 ? 4, x2 2 ? 2 y2 2 ? 4, x 2 ? 2 y 2 ? 4 , 4 2

故 x 2 ? 2 y 2 ? ? 2 ( x12 ? 2 y12 ) ? 4 ? 2 x2 2 ? 2 y2 2 ) ? 4?? ( x1 x2 ? 2 y1 y2 ? 4? ? 16 ? ? 4?? ? x1 x2 ? 2 y1 y2 ? ? 4
2 2

?

?

设 kOM , kON 分别为直线 OM , ON 的斜率,由题意知, k QM ? k ON ? 因此 x1 x2 ? 2 y1 y2 =0 ,所以 ? ? 4 ? ? 1 …………………10 分
2 2

y1 y 2 1 ?? , x1 x 2 2

所以 Q 点是椭圆上 ? ? 4 ? ? 1 的点,而 E1 , E2 恰为该椭圆的左右焦点,
2 2

所以由椭圆的定义, QF1 ? QF2 ? 2 . …………………12 分 21. (Ⅰ)由题: f ' ( x) ? 2 x ?

a ( x ? ?2) x?2

∵ f ( x) 存在两个极值点 x1 、 x2 ,其中 x1 ? x 2 . ∴关于 x 的方程 2 x ?
2

a ( - 2, ? ?) 内有不等两实根 ? 0 即 2x 2 ? 4x ? a ? 0 在 x?2

令 S ( x) ? 2 x ? 4 x( x ? ?2) , T ( x) ? a ,则

由图像可得 ? 2 ? a ? 0 ∴实数 a 的取值范围是 (?2,0) . …………………3 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)可知 ?

? x1 ? x 2 ? ?2 ∴ x1 ? x 2 ? x1 ? (?2 ? x1 ) ? 2 x1 ? 2 ?? 2 ? x1 ? ?1
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∴ ? 2 ? x1 ? x 2 ? 0 由 g ( x) ? xe x 得 g ' ( x) ? ( x ? 1)e x ∴当 x ? (?2,?1) 时, g ' ( x) ? 0 ,即 g ( x) 在(-2,-1)单调递减;
' 当 x ? (?1,0) 时, g ( x) ? 0 ,即 g ( x) 在 ( - 1, 0 ) 单调递增

∴ g ( x1 ? x 2 ) min ? g (?1) ? ?

1 . e

…………………6 分

?a ? ?2 x1 x 2 ? (Ⅲ)由(Ⅰ)知 ? x1 ? ?2 ? x 2 ?? 1 ? x ? 0 2 ?


f ( x1 ) x1 ? a ln( x1 ? 2) 4 ? ? x2 ? ? 2( x 2 ? 2) ln(? x 2 ) ? 4 x2 x2 x2

2

令 ? x 2 ? x ,则 0 ? x ? 1 且 令 F ( x) ? ? x ?

f ( x1 ) 4 ? ? x ? ? 2( x ? 2) ln x ? 4 x2 x

4 ? 2( x ? 2) ln x ? 4(0 ? x ? 1) , x 4 2( x ? 2) 4 4 则 F ' ( x) ? ?1 ? 2 ? 2 ln x ? ? 2 ? ? 2 ln x ? 1(0 ? x ? 1) x x x x
∴ G ( x) ?

8 4 2 2( x 2 ? 2 x ? 4) 4 4 ' G ( x ) ? ? ? ? ? ? ? 2 ln x ? 1 ( 0 ? x ? 1 ) x3 x2 x x3 x2 x
' ' ' '

∵ 0 ? x ? 1 ∴ G ( x) ? 0 即 F ( x) 在 ( 0, 1) 上是减函数∴ F ( x) ? F (1) ? 1 ? 0 ∴ F ( x) 在 ( 0, 1) 上是增函数 ∴ F ( x) ? F (1) ? ?1 ,即

f ( x1 ) ? ?1 即 f ( x1 ) ? x 2 ? 0 …………………12 分 x2

22.解: (Ⅰ)证明:连接 AB,∵AC 是⊙O1 的切线,∴∠BAC=∠D, 又∵∠BAC=∠E,∴∠D=∠E,∴AD∥EC.…………………………4 分 (Ⅱ)设 PB ? x, PE ? y , ∵PA=3,PC=1,∴ xy ? 3 ,①

∵AD∥EC,∴

AP DP ? ? 3 ,且 DP ? 3 y . PC PE
2
2

由 AD 是⊙O2 的切线,? AD ? DB ? DE ,? 6 ? (3 y ? x)4 y ②

3 ? 9 ?x ? 由①②可得, ? 2 ,? BD ? 3 y ? x ? ,…………………………10 分 2 ? ?y ? 2
23.解: (Ⅰ)曲线 C 1 的直角坐标方程为: x ? y ? 2 x ? 0 即 ( x ? 1) ? y ? 1 。
2 2 2 2

- 10 -

? 曲线 C 的方程为

x2 ? y 2 ? 1。 4

0),( 3 , 0),长轴长为 4 的椭圆.……………………4 分 ? 曲线 C 表示焦点坐标为(? 3 ,
(Ⅱ)将直线 l 的方程代入曲线 C 的方程:

x2 ? y 2 ? 1 中, 4



5 2 4 4 t ? 2t ? 2 ? 0 。设 A、B 两点对应的参数分别为t1 ,t 2 ,则 t1 ? t 2 ? ? , t1t 2 ? ? . 2 5 5
4 6 …………………………10 分 5

?| PA | ? | PB |?| t1 | ? | t 2 |?| t1 ? t 2 |?
24.解: (1)当 m ? 4 时, g ( x) ? 原不等式等价于 ?

f ( x) ? m ,

由 x ?1 ? x ?1 ? 4

? x ? ?1 ?? 1 ? x ? 1 ?x ? 1 或? 或? ?? x ? 1 ? x ? 1 ? 4 ? x ? 1 ? x ? 1 ? 4 ? x ? 1 ? x ? 1 ? 4

则不等式的解集为 x x ? ?2或x ? 2

?

?

…………………………5 分

(2)当 a, b ? C R M 时,即 ?2 ? a, b ? 2 ,所以

4 ? a ? b ? ? ? 4 ? ab ? ? 4 ? a 2 ? 2ab ? b 2 ? ? ?16 ? 8ab ? a 2b 2 ? ? 4a 2 ? 4b 2 ? 16 ? a 2b 2 ? ? a 2 ? 4 ?? 4 ? b 2 ? ? 0 ,
2 2

所以 4 ? a ? b ? ? ? 4 ? ab ? ,即 2 a ? b ? 4 ? ab
2 2

…………………………10 分

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